miniaturadeimagen|Max Zorn, fotografiado en 1930. El lema de Zorn, también llamado de Kuratowski-Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente:

Demostración a partir del axioma de elección El axioma de elección dice que dada una familia (posiblemente infinita) de conjuntos no vacíos podemos definir una aplicación que tome un elemento de cada conjunto:

.

Con este axioma podemos demostrar el lema de Zorn:

Sea que el conjunto parcialmente ordenado del enunciado. Suponemos que no tiene ningún elemento maximal y llegaremos a contradicción.

Por hipótesis, elegimos todos los subconjuntos totalmente ordenado que posee una cota superior. Por el axioma de elección podemos definir una función que dado cada uno de estos subconjuntos devuelva su cota superior. Además, como estamos suponiendo que no tiene ningún elemento maximal, se puede pedir que la cota de cada uno de estos subconjuntos no esté dentro del subconjunto. Es decir, dado totalmente ordenado, nos da una cota superior. Para cada y , denotamos (notamos que, en particular, )

Diremos que es un -conjunto si:

(i) Es totalmente ordenado.

(ii) No contiene secuencias infinitamente descendientes, es decir, no existen secuencias infinitas en .

(iii) Para cada , (está bien definido porque ).

Observamos que:

El conjunto vacío es trivialmente un -conjunto. Si es un -conjunto, entonces también lo es.

Afirmamos que si son -conjuntos diferentes, entonces para cierto o bien para cierto .

Sea ahora . Entonces, , si es un -conjunto que contiene a , tenemos que .

Por último, es un -conjunto.

Por tanto, es, por definición y por , el -conjunto más grande, pero y, por , es un -conjunto más grande que , lo que es contradictorio. La contradcción proviene de haber supuesto que no tiene ningún elemento maximal. Por tanto, sí que tiene, que es lo que queríamos demostrar.

Usando inducción transfinita

Sea un conjunto parcialmente ordenado tal que toda cadena en posee una cota superior; se pretende demostrar que debe existir un elemento maximal en . La idea de la demostración es construir una sucesión de elementos hasta que se alcance un elemento maximal. Partiendo de un elemento cualquiera (pero fijo) , o bien no hay ningún elemento tal que , en cuyo caso es maximal, o bien sí existen elementos por encima de , por lo que se puede escoger un elemento tal, denotado . Repitiendo el razonamiento, o bien es maximal, o bien existe una cota superior a y a . Continuando del mismo modo, debería llegarse a un elemento maximal; el objetivo es hacerlo de forma rigurosa.

Por el axioma de elección, existe una función que asigna a cada subconjunto no vacío un elemento . Sea ahora un elemento . Se define el conjunto de cotas superiores del conjunto : si es vacío, entonces es maximal en ; en caso contrario, se define , de forma que . Del mismo modo se puede definir inductivamente un elemento para cada ordinal : si no es maximal, entonces se define donde es el conjunto de cotas superiores del conjunto ; si es un ordinal límite, entonces el conjunto es una cadena en y el conjunto de cotas superiores de es no vacío, por lo que .

Tanto si es un ordinal sucesor o un ordinal límite, se tiene que para todo , por lo que el conjunto de todos los es tan grande como el conjunto de ordinales menores o iguales que . Dado que los ordinales no constituyen un conjunto sino una clase, este proceso debe detenerse en algún momento, llegando a un ordinal tal que no tenga cotas superiores y no se pueda definir . En ese caso, es un elemento maximal de .

Consecuencias Al igual que el teorema del buen orden, el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que cualquiera de ellos, junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, basta para probar los otros. Aparece en las demostraciones de varios teoremas importantes, tales como el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base, el teorema de Tychonoff en topología, y los teoremas en álgebra abstracta que afirman que todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal y que todo cuerpo tiene clausura algebraica.

Ejemplo Se considerará una aplicación usual del lema de Zorn: la prueba de que todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal. Sea P el conjunto de todos los ideales bilaterales de R excepto R mismo, que no es vacío pues incluye al menos al ideal trivial {0} de R. Este conjunto está parcialmente ordenado por inclusión.

Sea entonces T un subconjunto totalmente ordenado de P; se demostrará que T tiene cota superior, es decir, hay un ideal I ⊆ R que contiene a todos los miembros de T, pero que no es igual a R (de lo contrario no estaría en P). Sea I la unión de todos los ideales en T. Esta es también un ideal: para cualquier a, b ∈ I, existen J, K ∈ T tales que a ∈ J y b ∈ K. Como T está totalmente ordenado, K ⊆ J o J ⊆ K. En el primer caso, b ∈ J y por lo tanto, como J es un ideal, a + b, ar, ra ∈ J ⊆ I para cualquier r ∈ R. En el segundo caso se razona de manera similar.

Para demostrar que I es distinto de R, basta con observar que un ideal es igual a R si y solo si incluye a 1. Es evidente que si es igual a R debe incluir a 1; recíprocamente, si incluye a 1 debe incluir a 1r = r para cualquier r ∈ R, y por lo tanto debe contener a R. Ahora bien, si I = R debería incluir a 1, con lo que habría un J ∈ T tal que 1 ∈ J, y por lo tanto J = R, contradiciendo la definición de P, que no lo incluía.

Se demostró que T tiene una cota superior en P. Aplicando el lema de Zorn, se tiene que P debe tener un elemento maximal, y por lo tanto, R tiene un ideal maximal.

Es de notar que la demostración depende del hecho de que R tenga un elemento unitario 1. De lo contrario, no solo la prueba fallaría, el mismo enunciado del teorema sería falso.

Referencias

Bibliografía

Jinpeng An, A proof of Zorn's lemma, disponible en (en inglés).

Véase también Axiomas de Zermelo-Fraenkel Axioma de elección Axiomas de Von Neumann-Bernays-Gödel Principio maximal de Hausdorff Teoría axiomática de conjuntos Max Zorn

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