En matemáticas, una relación de orden u orden parcialAlgunos autores reservan la expresión orden parcial para aquellos órdenes que no sean totales. es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto, es decir, que permite comparar sus elementos.
Los conjuntos dotados de un orden, llamados conjuntos ordenados, son el objeto de estudio de la teoría del orden.
Definición
Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida en , entonces se dice que es una relación de orden si es:BIRKHOFF (1948), p. 1.
Reflexiva Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, . Antisimétrica: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, Transitiva: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
Dada una relación de orden sobre un conjunto , el par ordenado forma por definición un conjunto ordenado.
Un ejemplo de relación de orden es la inclusión en el conjunto potencia de un conjunto A. En este caso, hay pares de subconjuntos que no se pueden comparar: ni el primero está contenido en el segundo ni el segundo lo está en el primero.Rojas: Álgebra I En otras palabras, la inclusión no es una relación de orden total.
Órdenes parciales y totales
Sea un conjunto dado, es una relación de orden total si y solo si la relación es de orden y todos los elementos de se relacionan entre sí, es decir,
Ejemplo es totalmente ordenado. En efecto, es: Reflexivo: entonces (porque por definición, ) Antisimétrico: si y entonces Transitivo: si y entonces Orden total, pues Sean a y b dos números naturales, entonces a ≤ b o b ≤ a.Rojas, Algebra I, (1972), pg. 91
No todas las relaciones de orden son totales. Dos contraejemplos son: (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, "a divide b"; pues 5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h. 12 no divide a 5 tampoco. Sea el conjunto y el conjunto potencia de , definido por:
Entonces es parcialmente ordenado, pero no totalmente, pues para
se tiene:
Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.
Relación de orden densa
Una relación de orden parcial sobre un conjunto se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, tales que , existe otro tal que .
Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si , entonces tenemos que satisface que: Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier existen los enteros y , tal que .Esta propiedad permite definir la función máximo entero
Véase también Teoría del orden Desigualdad matemática Igualdad matemática
Esquema de temas relacionados Teoría del orden Bien ordenado Orden total Parcialmente ordenado Preordenado Relación reflexiva Relación transitiva Relación antisimétrica Relación total Relación bien fundada
Notas
Referencias
Bibliografía
Categoría:Relaciones Categoría:Teoría del orden