A equação de Burgers, introduzida pela primeira vez por Harry Bateman em 1915 e mais tarde estudada por Johannes Martinus Burgers em 1948, é uma equação diferencial parcial fundamental e equação de convecção-difusão que ocorre em várias áreas da matemática aplicada, como mecânica dos fluidos, acústica não linear, dinâmica de gases, e fluxo de tráfego. É expressa por . O estudo dessa equação é de extrema importância, já que ela é utilizada como modelo matemático para análise de fenômenos como turbulência e formação de choque.
A equação de Burgers, estabelecida por Burgers em 1940, é uma equação diferencial parcial simplificada das equações de Navier-Stokes, do tipo convecção-difusão, para casos em que o gradiente de pressão possa ser ignorado. O termo não linear dá origem a uma onda que se move em alguma direção. Essa onda eventualmente se dissipa e a solução não linear tende à mesma forma da solução não linearizada, porém com amplitude menor. Burgers, J.M. Application of a model system to illustrate some points of the statistical theory of free turbulence, Nederl. Akad. Wefensh. Proc., volume 43, pages 2-12, 1940. DOI: 10.1007/978-94-011-0195-0 12.
A solução desta equação sem viscosidade, ou seja, com , pode se dar pelo método das características, no qual é possível descobrir curvas características, onde a equação é reduzida para uma EDO.
Considerando , HopfHopf, E. "The partial differential equation u_t + uu_x = \mu u_{xx}". Comm. Pure Appl. Math., volume 3, páginas 201-230, 1950. DOI: 10.1002/cpa.3160030302. e ColeCole, J. D. "On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics". Quart. Appl. Math, volume 9, páginas 225-236, 1951. DOI: 10.1090/qam/42889. deduziram que as equações de Burgers podem ser transformadas em uma equação linear da difusão do calor, conhecida como "transformação de Hopf-Cole".
Teorema da Transformada de Hopf-Cole
Seja uma solução positiva da equação do calor:
Então, definimos a transformação de Hopf-Cole como:
Essa transformação é útil para converter a equação de Burgers na equação do calor, facilitando sua resolução. Olver, Peter J. "Introduction to Partial Differential Equations". Undergraduate Texts In Mathematics, Springer, Califórnia, 2014.
Teorema da Conservação de Massa
O Teorema da Conservação de Massa afirma que a integral total da solução ao longo de toda a reta real permanece constante no tempo, desde que Seja u(x,t) uma solução da equação de Burgers viscosa:
com condição inicial Então, para todo , a seguinte identidade se mantém:
Ou seja, a quantidade total de ao longo do domínio permanece constante no tempo. Whitham, G. B. Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience, 1999.
Categoria:Equações diferenciais parciais Categoria:Mecânica dos fluidos
Teorema da Monotonicidade
Se para todo , e o teorema da conservação de massa, que estabelece que, sendo solução para a equação de Burgers com , tem-se que:
Para demonstrar o teorema da monotonicidade da solução, definimos uma função de corte e uma função sinal regularizada .
Função sinal regularizada
Função de Corte
O teorema da monotonicidade da solução consiste em multiplicar a equação de Burgers por e pela função de corte , integrando em . Assim, obtemos:
Resolvendo a primeira parte da equação:
Pela parte III:
Unindo todas as partes:
Então, quando , temos , resultando em:
O mesmo raciocínio pode ser aplicado para .
No caso da conservação de massa, multiplicamos a equação de Burgers pela função de corte e integramos em , resultando em:
Como a função tende a 0 quando r , resulta que a função é limitada, obtemos que os termos adicionais desaparecem, garantindo a conservação da massa na equação de Burgers. Pasa, B. C. "Equação de Burgers: Propriedades e comportamento assintótico", Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2005.