Em matemática, o teorema de Cauchy-Hadamard é o resultado de uma análise complexa (nome em homenagem aos matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy e Jacques Hadamard) descrevendo o raio de convergência de uma série de potências . Foi publicado em 1821 por Cauchy ,mas permaneceu relativamente desconhecido até que Hadamard o redescobriu . Translated from the Italian by Warren Van Egmond.. A primeira publicação de Hadamard desse resultado foi em 1888 .; ele também o incluiu como parte de sua tese de Ph.D. de 1892.. Also in Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.
Teorema para uma variável complexa Considere a série formal de potências em uma variável complexa z da forma:
Onde
Então o raio de convergência de ƒ no ponto a é dado por:
onde lim sup denota o limite superior, o limite quando n se aproxima do infinito do supremo dos valores da sequência após a n-ésima posição. Se os valores da sequência são ilimitados de modo que o limite superior seja infinito, então a série de potências não converge para perto de a, enquanto que se o limite superior for 0 então o raio de convergência é infinito, significando que a série converge em todo o plano.
Prova Sem perda de generalidade, assuma que . Mostraremos primeiro que a série de potências converge para , e então que diverge para .
Primeiro suponha . Deixe não ser ou Para qualquer , existe apenas um número finito de de tal modo que . Agora para todos, exceto um número finito de , então a série converge se . Isso prova a primeira parte.
Por outro lado, para , para infinitamente muitos , então se , vemos que a série não pode convergir porque o seu n-ésimo termo não tende a 0. Graduate Texts in Mathematics
Teorema para várias variáveis complexas Deixe ser um índice múltiplo (um n de inteiros) com , então converge com raio de convergência (que também é um índice múltiplo) se e somente se
para a série de potência multidimensional
A prova pode ser encontrada em.
Notas
Ligações externas
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