Um sólido platônico ou poliedro regular, na geometria, é um poliedro convexo em que:
todas as faces são formadas por polígonos regulares e congruentes (idênticas em forma e tamanho e com todos os ângulos e lados iguais entre si); o mesmo número de arestas encontra-se em todos os vértices, e portanto, os ângulos poliédricos são congruentes.
São cinco os sólidos platônicos (sólidos que satisfazem essas condições) e os mesmos são descritos no décimo-terceiro livro de Os Elementos, de Euclides.James Elmes, A general and bibliographical dictionary of the fine arts (1824), Geometry, p.375 [google books]
Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro IcosaedroQuatro facesSeis facesOito facesDoze facesVinte faces (Animation) (3D model)(Animation) (3D model)(Animation) (3D model)(Animation) (3D model)(Animation) (3D model)
Existem autores que definem sólidos platônicos de forma distinta. Alguns autores definem os poliedros de Platão como poliedros convexos em que:
todas as faces possuem o mesmo número de arestas; todos os ângulos poliédricos são formados pelo mesmo número de arestas; vale a relação de Euler V - A + F = 2 (onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces).
Optando por esta definição, é possível estabelecer que todo poliedro convexo regular é poliedro de Platão. Isso porque no poliedro regular:
todas as faces são polígonos regulares e congruentes, logo possuem o mesmo número de arestas; os ângulos poliédricos são congruentes, assim possuem o mesmo número de arestas em todos os vértices.
Mas com esta mesma definição, observamos que nem todo poliedro de Platão é poliedro regular.
Geômetras estudaram os sólidos platônicos por milhares de anos.Gardner (1987): Martin Gardner wrote a popular account of the five solids in his December 1958 Mathematical Games column in Scientific American. Os sólidos recebem este nome devido ao antigo filósofo grego Platão ter suposto em seu diálogo, o Timeu, que os elementos clássicos foram feitos com os sólidos regulares.
História Os sólidos platônicos são conhecidos desde a antiguidade. Têm sido sugerido que certas pedras arredondadas esculpidas pelos Neolíticos da Escócia representam estas formas; no entanto, essas bolas têm botões arredondados ao invés de ângulos poliédricos, o número de botões com frequência difere do número de vértices dos sólidos platônicos, não há bola cujos botões correspondem a 20 vértices do dodecaedro e a disposição dos botões não é sempre simétrica.
Os antigos Gregos estudaram os sólidos platônicos extensivamente. Algumas fontes (tais como Proclo) creditam Pitágoras pela descoberta dos sólidos platônicos. Outra evidência sugere que ele pode ter sido apenas familiarizado com o tetraedro, o cubo e o dodecaedro e que a descoberta do octaedro e do icosaedro deve-se a Teeteto, contemporâneo de Platão. Em qualquer caso, Teeteto produziu uma descrição matemática de todos os cinco e, pode ter sido responsável pela primeira prova conhecida de que não existe nenhum outro poliedro regular convexo.
Os sólidos platônicos são destaque na filosofia de Platão. O filósofo escreveu sobre eles no diálogo Timeu, 360 a.C., no qual associou cada um dos quatro elementos clássicos (terra, ar, água e fogo) a um sólido regular. A terra foi associada com o cubo, o ar com o octaedro, a água com o icosaedro, e o fogo com o tetraedro. Havia uma justificativa intuitiva para estas associações. O calor do fogo parece afiado e agudo (como o pequeno tetraedro). O ar é feito do octaedro, pois seus minúsculos componentes são tão suaves que mal podem ser sentidos. À água associou o icosaedro, pois flui da mão quando apanhada, como se fosse feita de pequenas bolinhas. Por outro lado, um sólido não esférico, o hexaedro (cubo) representa a "terra". Além disso, por ser o único sólido regular que representa o espaço euclidiano, acreditava-se que o cubo fosse o que possibilitava solidez à Terra.
O quinto sólido platônico, o dodecaedro, Platão obscuramente observou, "...o deus usou [isto] para organizar as constelações no céu inteiro". Aristóteles acrescentou um quinto elemento, aithēr (aether em latim, "ether", em inglês ou éter em português) e postulou que foram feitos os céus com este elemento, mas ele não tinha interesse em definir correspondência com o quinto sólido de Platão.Wildberg (1988): Wildberg discusses the correspondence of the Platonic solids with elements in Timaeus but notes that this correspondence appears to have been forgotten in Epinomis, which he calls "a long step towards Aristotle's theory", and he points out that Aristotle's ether is above the other four elements rather than on an equal footing with them, making the correspondence less apposite.
Euclides realizou uma descrição matemática dos sólidos platônicos na obra Elementos, sendo seu último livro (Livro XIII) destinado às suas propriedades. As proposições 13-17 do Livro XIII descrevem a construção do tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro e dodecaedro nesta mesma ordem. Para cada sólido, Euclides encontrou a relação entre o diâmetro da esfera circunscrita e o comprimento da aresta. Na Proposição 18 ele argumentou o fato de não haverem mais poliedros regulares convexos. Andreas Speiser defendeu a ideia de que a construção dos cinco sólidos regulares era o objetivo principal do sistema dedutivo sustentado na obra Elementos. Muitas das informações do Livro XIII são provavelmente derivadas do trabalho de Teeteto.
No século XVI o astrônomo alemão Johannes Kepler tentou relacionar os seis planetas conhecidos na época aos cinco sólidos platônicos. Em Mysterium Cosmographicum (O Mistério Cosmográfico), publicado em 1596, Kepler propôs um modelo do Sistema Solar no qual os cinco sólidos estavam inseridos dentro de um outro sólido, sendo separados entre si por uma série de esferas inscritas e circunscritas. Kepler propôs que as relações entre as distâncias dos seis planetas conhecidos na época poderiam ser entendidas em termos dos cinco sólidos platônicos contidos numa esfera que representava a órbita de Saturno. As seis esferas correspondiam a cada um dos planetas (Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno). Os sólidos estavam ordenados com a mais profunda essência, sendo o octaedro, seguido pelo icosaedro, dodecaedro, tetraedro, e finalmente o cubo, ditando assim a estrutura do Sistema Solar e as relações de distância entre os planetas pelos sólidos platônicos. Ao final, a teoria original de Kepler foi abandonada, mas a partir de sua pesquisa originaram-se as três leis da dinâmica orbital, a primeira era de que as órbitas dos planetas são elipses ao invés de círculos, mudando o curso da física e da astronomia. Ele também descobriu os poliedros de Kepler-Poinsot.
No século XX, tentativas de associações entre os sólidos platônicos e o mundo físico entraram em expansão para o modelo de camada de elétrons na química, por Robert Moon em uma teoria conhecida como "Modelo da Lua".
Coordenadas cartesianas Para os sólidos platônicos com centro na origem, as coordenadas cartesianas dos vértices são dadas abaixo. A letra grega φ é usada para representar a proporção áurea .
+ ParâmetrosPoliedroTetraedro Octaedro Cubo IcosaedroDodecaedroFaces4862012Vértices46 (2 × 3)812 (4 × 3)20 (8 + 4 × 3)Conjunto de orientação 12 12 12Coordenadas dos
vértices (1, 1, 1)(1, −1, −1)(−1, 1, −1)(−1, −1, 1) (−1, −1, −1)(−1, 1, 1)(1, −1, 1)(1, 1, −1) (±1, 0, 0)(0, ±1, 0)(0, 0, ±1)(±1, ±1, ±1) (0, ±1, ±φ)(±1, ±φ, 0)(±φ, 0, ±1) (0, ±φ, ±1)(±φ, ±1, 0)(±1, 0, ±φ)(±1, ±1, ±1)(0, ±, ±φ)(±, ±φ, 0)(±φ, 0, ±)(±1, ±1, ±1)(0, ±φ, ±)(±φ, ±, 0)(±, 0, ±φ)Imagem
As coordenadas do tetraedro, do icosaedro e do dodecaedro são dadas em dois conjuntos de orientações, cada um contendo metade das permutações de sinal e posição das coordenadas.
Estas coordenadas revelam certas relações entre os sólidos platônicos: os vértices do tetraedro representam metade dos vértices do cubo, como {4,3}, um dos dois conjuntos de 4 vértices em posições duplas, como h{4,3}. Ambas posições tetraédricas geram o composto octaedro estrelado.
As coordenadas do icosaedro estão relacionadas a dois conjuntos alternados de coordenadas de um octaedro truncado não uniforme, t{3,4}, também visto no composto de dois icosaedros.
Oito dos vértices do dodecaedro são compartilhados com o cubo. Completando todas as orientações obtém-se o composto de cinco cubos.
Propriedades combinatórias Um poliedro convexo é um sólido platônico se, e somente se,
todas as suas faces são polígonos convexos regulares congruentes, nenhuma das faces se interseta, exceto nas arestas, e o mesmo número de faces se encontra em cada um dos seus vértices.
Cada sólido platônico pode ser denotado por um símbolo {p, q}, onde
p é o número de arestas (ou, equivalentemente, vértices) de cada face, e q é o número de faces (ou, equivalentemente, arestas) que se encontram em cada vértice.
O símbolo {p, q}, chamado de símbolo de Schläfli, fornece uma descrição combinatória do poliedro. Os símbolos de Schläfli dos cinco sólidos platônicos são dados na tabela abaixo.
PoliedroVérticesArestasFacesSímbolo de SchläfliConfiguraçãodos Vértices tetraedro 4 6 4 {3, 3} 3.3.3cubo 8 12 6 {4, 3} 4.4.4 octaedro 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3 dodecaedro 20 30 12 {5, 3} 5.5.5 icosaedro 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3 Todas as outras informações combinatórias sobre esses sólidos, como o número total de vértices (V), arestas (A) e faces (F), podem ser determinadas a partir de p e q. Como qualquer aresta une dois vértices e tem duas faces adjacentes, devemos ter:
A outra relação entre esses valores é dada pela Característica de Euler:
Isso pode ser provado de várias maneiras. Juntas, essas três relações determinam completamente V, A e F:
Trocando p e q, inverte-se F e V mantendo A inalterado.
Como uma configuração Os elementos dos sólidos platônicos podem ser expressos em uma matriz de incidência ou matriz de configuração. Os elementos da diagonal representam o número de vértices, arestas e faces. Os elementos que não estão na diagonal representam o número de elementos da coluna que são incidentes no elemento da linha. Por exemplo, a linha superior mostra um vértice que tem q arestas e q faces incidentes e, a linha inferior mostra uma face que tem p vértices e p arestas. Já a linha intermediária mostra uma aresta que tem 2 vértices e 2 faces. Os sólidos platônicos duais tem suas matrizes de incidência rotacionadas em 180 graus um do outro.Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 Configurations {p,q}Platonic configurationsordem do grupo: g = 8pq/(4-(p-2)(q-2))g=24g=48g=120vefvg/2qqqe2g/42fppg/2p+{3,3}433262334+{3,4}6442122338+{4,3}8332122446+{3,5}125523023320+{5,3}203323025512
Classificação
Um resultado clássico é o de que existem apenas cinco poliedros regulares convexos. Abaixo, seguem dois argumentos comuns que demonstram não existirem mais do que cinco poliedros platônicos.
Prova geométrica +Polígonos dispostos em torno de um vértice80x80px{3,3} Deficiência angular de 180°80x80px{3,4} Deficiência angular de 120°80x80px{3,5} Deficiência angular de 60°80x80px{3,6} Deficiência angular de 0°80px{4,3} Deficiência angular de 90°80x80px{4,4} Deficiência angular de 0°80x80px{5,3} Deficiência angular de 36°80x80px{6,3} Deficiência angular de 0°Um vértice precisa de pelo menos 3 faces e uma deficiência angular. Uma deficiência angular de 0° deve preencher o plano Euclidiano com faces regulares lado a lado. Pelo teorema de Descartes, o número de vértices é igual a 720° dividido pela deficiência angular. O argumento geométrico expresso a seguir é muito semelhante ao dado por Euclides em os Elementos:
Cada vértice do sólido deve ser um vértice para, pelo menos, três faces. Em cada vértice do sólido, o total, entre as faces adjacentes, dos ângulos entre os seus respectivos lados adjacentes deve ser menor que 360°. O valor inferior a 360° é chamado de ângulo de defeito (ou deficiência angular).