Em geometria, o modelo hiperboloide, também conhecido como modelo de Minkowski ou modelo de Lorentz (em homenagem a Hermann Minkowski e Hendrik Lorentz), é um modelo de geometria hiperbólica n-dimensional em que os pontos são representados pelos pontos na folha anterior S+ de um o hiperboloide de duas folhas no espaço de Minkowski (n + 1) tridimensional e os planos m são representados pelas interseções dos planos (m + 1) no espaço Minkowski com S+.
A função distância hiperbólica admite uma expressão simples neste modelo. O modelo hiperboloide do espaço hiperbólico n-dimensional está intimamente relacionado ao modelo de Beltrami-Klein e ao modelo de disco de Poincaré, pois são modelos projetivos no sentido de que o grupo isométrico é um subgrupo do grupo projetivo.
Forma quadrática de Minkowski
Se (x0, x1, ..., xn) é um vetor no espaço coordenado -dimensional Rn+1, a forma quadrática de Minkowski é definida como
Os vetores de tal modo que formam um S hiperboloide n-dimensional que consiste em dois componentes ou folhas conectadas: folha S+ a frente ou o futuro, onde x0>0 e a folha S− contrária ou anterior, onde x0<0.Os pontos do modelo hiperbolóide n-dimensional são os pontos sobre a folha posterior S +.
A forma bilinear de Minkowski B é a polarização da forma quadrática de Minkowski Q,
Explicitamente,
A distância hiperbólica entre dois pontos u e v de S+ é dada pela fórmula
onde arcosh é a função inversa do cosseno hiperbólico.
Linhas retas Uma linha reta no espaço n hiperbólico é modelada por uma geodésica no hiperboloide.Uma geodésica no hiperboloide é a interseção (não vazia) do hiperboloide com um subespaço linear bidimensional (incluindo a origem) do espaço n + 1 dimensional de Minkowski. Se considerarmos u e v como vetores base desse subespaço linear com
e use w como parâmetro real para pontos na geodésica, então
será um ponto na geodésica.Alexander Macfarlane (1894) Papers on Space Analysis, B. Westerman, New York, weblink from archive.org
De um modo mais geral, um "achatado" dimensional k no espaço n hiperbólico será modelado pela interseção (não vazia) do hiperboloide com um subespaço linear k + 1 dimensional (incluindo a origem) do espaço Minkowski.
Isometrias
O grupo ortogonal indefinido O(1, n), também chamado grupo de Lorentz (n + 1) de dimensão, é o grupo de Lie de matrizes reais (n + 1) × (n + 1) que preservam a forma bilinear de Minkowski. Em uma linguagem diferente, é o grupo de isometrias lineares do espaço de Minkowski. Em particular, esse grupo preserva o hiperbolóide S.Lembre-se de que grupos ortogonais indefinidos têm quatro componentes conectados, correspondendo a reverter ou preservar a orientação em cada subespaço (aqui unidimensional e n-dimensional), e formar um quatro grupos de Klein. O subgrupo O(1, n) que preserva o sinal da primeira coordenada é o grupo de Lorentz ortocrônico, denominado O+(1, n), e possui dois componentes, correspondentes à preservação ou reversão da orientação do subespaço espacial. Seu subgrupo SO+(1,n) constituído por matrizes com determinante, é um grupo de Lie de dimensão n(n+1)/2 conectado, que atua em S+ por automorfismos lineares e preserva a distância hiperbólica.Essa ação é transitiva e o estabilizador do vetor (1,0, ..., 0) consiste nas matrizes da forma
Onde pertence ao grupo ortogonal especial compacto SO(n) (generalizando o grupo de rotação SO(3) para ). Daqui resulta que o espaço hiperbólico n-dimensional pode ser exibido como o espaço homogêneo e um espaço simétrico Riemanniano de classificação 1,
O grupo SO+(1,n) é o grupo completo de isometrias de preservação da orientação do espaço hiperbólico n-dimensional.
Categoria:Geometria métrica Categoria:Geometria não euclidiana Categoria:Geometria riemanniana