thumb|Reticulado das partições de um conjunto com 4 elementos. Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.
Reticulados como estruturas algébricas De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L, ), consistindo de um conjunto L e duas operações , e , sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.
Leis Comutativas , . Leis Associativas , . Lei de Absorção , .
As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção., and dually for the other idempotent law. . Leis de Idempotência , .
Exemplos
Seja um conjunto não vazio e o conjunto potência ou conjunto das partes de . Além disso, seja a relação de inclusão de conjuntos. Então é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.
Seja um conjunto totalmente ordenado, isto é, é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.
Semirreticulados Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b. Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.
Bibliografia
Categoria:Álgebra