direita|miniatura|Um triângulo de Kepler é um triângulo retângulo formado por três quadrados com áreas em progressão geométrica de acordo com a proporção áurea.
Um triângulo de Kepler é um triângulo retângulo especial com lados de comprimento com razão em progressão geométrica. Para , um triângulo retângulo de cateto de comprimento 1 e cateto maior de comprimento , com hipotenusa de comprimento , o teorema de Pitágoras estabelece que
sendo esta a proporção áurea. Assim: , ou approximadamente 1 : 1,272 : 1,618.
Esses triângulos são denominados em homenagem ao astrônomo e matemático Johannes Kepler.
História Triângulos com esta relação entre lados são denominados em memória do matemático e astrônomo alemão Johannes Kepler (1571–1630), o primeiro a demonstrar que este triângulo é caracterizado pela relação entre lados igual à proporção áurea. Os triângulos de Kepler combinam dois conceitos matemáticos fundamentais — o teorema de Pitágoras e a proporção áurea — que impressionaram Kepler profundamente, como ele expressou em sua quotação:
Porém, apesar de ser o primeiro a realizar demonstrações acerca da figura, Kepler não foi o primeiro a descrevê-la. Kepler dá creditos a "um professor de música chamado Magirus". O mesmo triângulo aparece anteriormente no livro sobre matemática islâmica Liber mensurationum de Abû Bekr, que foi traduzido no século XII por Gerardo de Cremona para o latim, e no livro publicado em 1220/1221 Practica geometriae de Leonardo Fibonnaci, que descreveu o triângulo de forma semelhante a Kepler. Pouco antes de Kepler, o matemático português Pedro Nunes escreveu sobre a forma em 1561 e a possibilidade do uso do triângulo ter sido disseminado na segunda metade da idade média e no Renascimento.
Algumas fontes proclamam que um triângulo com dimensões aproximadas com um triângulo de Kepler pode ser identificado na Pirâmide de Quéops.
A denominação "triângulo de Kepler" foi usada por Roger Herz-Fischler que se baseou no trabalho de Kepler, que datava de 1597. Outro nome para o triângulo, utilizado por Matila Ghyka, é "triângulo de Price", em homenagem ao Piramidologia W. A. Price.
Definições O triângulo de Kepler é definido como um triângulo retângulo e apresentando o comprimento de seus lados em uma progressão geométrica ou, de forma equivalente, apresentando o quadrado de seus lados em uma progressão geométrica. Em ambos os casos, a progressão geométrica apresenta razão , sendo , isto é, a proporção áurea. Assim, a proporção pode ser escrita como 1 : : ou como 1 : 1,272 : 1,618.
Propriedades Seguindo da definição, se o menor lado de um triângulo de Kepler for , os lados restantes terão lados medindo e . O cosseno do maior dos dois ângulos não retos é a razão do lado adjacente — isto é, o menor lado — com a hipotenusa (ou ):
e .
Jarzy Kocik observou que o maior ângulo desses dois também é o ângulo formado pelos centros de trios de círculos consecutivos na Sequência loxodrômica de círculos tangentes de Coxeter.
Ver também Triângulo de ouro
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