Em matemática, a lógica de Łukasiewicz (em inglês:; em polonês: ), é uma lógica não-clássica multivalorada. Foi definida por Jan Łukasiewicz como uma lógica trivaluada.Łukasiewicz J., 1920, O logice trójwartościowej (in Polish). Ruch filozoficzny 5:170–171. English translation: On three-valued logic, in L. Borkowski (ed.), Selected works by Jan Łukasiewicz, North–Holland, Amsterdam, 1970, pp. 87–88. ISBN 0-7204-2252-3 Posteriormente, foi generalizada para n valores (com n finito), bem como para infinitamente valorada (ℵ0-valorada), ambas proposicionais e de primeira ordem. A versão ℵ0-valorada foi publicada em 1930 por Łukasiewicz e Alfred Tarski, ficando conhecida como lógica de Łukasiewicz-Tarski.
Linguagem Os conectivos proposicionais da lógica de Łukasiewicz são: implicação , negação , equivalência , conjunção fraca , conjunção forte , disjunção fraca , disjunção forte , e constantes proposicionais e . A presença de conjunções e disjunções é comum em subestruturas lógicas que não possuem a regra de contração, da qual a lógica de Łukasiewicz faz parte.
Axiomas A axiomática original para sistemas proposicionais infinitamente-valorados da lógica de Łukasiewicz utiliza a implicação e a negação como conectivos primitivos:
A lógica proposicional multivalorada de Łukasiewicz também pode ser axiomatizada pela adição dos seguintes axiomas ao sistema axiomático de um lógica monoidal de norma T:
Divisibilidade: Negação dupla:
Para uma lógica de Łukasiewicz finitamente valorada, são necessários outros axiomas.
Semântica A lógica de Łukasiewicz é uma lógica de real-valor das quais as sentenças podem assumir um valor verdadeiro e não apenas um ou zero mas qualquer número real no intervalo (por exemplo 0,25). As valorações têm um definição recursiva: para um conector binário
e onde as definições dos operadores são as seguintes: Implicação: Equivalência: Negação: Conjunção fraca: Disjunção fraca: Conjunção forte: Disjunção forte: A função verdade da conjunção forte é a norma-T de Łukasiewicz e a função verdade da disjunção forte é seu dual conomra-T. A função verdade é o resíduo da norma-T de Łukasiewicz. Todas as funções verdade baseadas em conectivos são contínuas.
Por definição, a fórmula é uma tautologia lógica de Łukasiewicz infinitamente valorada se ela vale 1 sob qualquer variação das variáveis proposicionais por um número real no intervalo [0, 1].
Semântica finitamente valorada Usando exatamente as mesmas fórmulas de valoração para uma semântica de valores reais, está definida a menos de isomorfismo: Qualquer conjunto finito de cardinalidade n ≥ 2 escolhendo como domínio } Qualquer conjunto enumerável escolhendo o conjunto como { p/q | 0 ≤ p ≤ q onde p é um inteiro não-negativo e q é um inteiro positivo }.
Ver também
Paradoxo de Tarski-Seidenberg Lógica difusa
Categoria:Lógica difusa Categoria:Lógica matemática