Lógica doxástica é um tipo de lógica modal preocupada com o raciocínio sobre crenças. O termo doxástico é derivado do grego antigo δόξα (doxa), que significa "crença" ou "opinião". Tipicamente, uma lógica do tipo doxástico utiliza Bx para referir-se a "Acredita-se que x é o caso," e o conjunto denota um conjunto de crenças. Na lógica doxástica, a crença é tratada como um operador modal.

Existe um paralelismo completo entre uma pessoa que acredita em proposições e um sistema formal que deriva proposições. Usando a lógica doxástica, é possível expressar a contrapartida epistêmica do Teorema da Incompletude de Gödel, assim como o Teorema de Löb, e outros resultados metalógicos em termos de crença.Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352

Tipos de raciocinadores Para demonstrar as propriedades dos conjuntos de crenças, Raymond Smullyan definiu os seguintes tipos de raciocinadores: Raciocinador preciso:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352[need quotation to verify]http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Belief, Knowledge and Self-Awareness[dead link] [dead link]http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Modal Logics[dead link] [dead link]Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc.[need quotation to verify] Um raciocinador preciso nunca crê em nenhuma proposição falsa. (axioma modal T).

Raciocinador impreciso:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Belief, Knowledge and Self-Awareness[dead link] [dead link]http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Modal Logics[dead link] [dead link]Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador impreciso crê em, pelo menos, uma proposição falsa.

Raciocinador vaidoso:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador vaidoso crê que seus ou suas crenças nunca são imprecisas.Um raciocinador vaidoso irá necessariamente se transformar em uma imprecisão.

ou

Raciocinador consistente:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Belief, Knowledge and Self-Awareness[dead link] [dead link]http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Modal Logics[dead link] [dead link]Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador consistente nunca acredita simultaneamente em uma proposição e na negação da mesma. (axioma modal D)

ou

Raciocinador normal:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Belief, Knowledge and Self-Awareness[dead link] [dead link]http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Modal Logics[dead link] [dead link]Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador normal é aquele que, enquanto acreditando em p, também acredita que ele ou ela crê em p (axioma modal 4).

Raciocinador peculiar:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador peculiar acredita em uma proposição p enquanto acredita também que ele ou ela não acredita em p. Apesar de um raciocinador peculiar parecer um estranho fenômeno psicológico (veja O Paradoxo de Moore), um raciocinador peculiar é necessariamente inexato, porém não necessariamente inconsistente.

Raciocinador regular:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Belief, Knowledge and Self-Awareness[dead link] [dead link]http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Modal Logics[dead link] [dead link]Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador regular é aquele que, enquanto acreditando que  , também acredita que .

Raciocinador reflexivo:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador reflexivo é aquele para o qual toda proposição p possui alguma proposição q tal que o raciocinador crê em .

Se um raciocinador reflexivo do tipo 4 [veja abaixo] crê em , ele ou ela irá acreditar em p. Esse é um paralelismo do Teorema de Löb para raciocinadores. Raciocinador instável:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador instável é aquele que acredita que ele ou ela acredita em alguma proposição, sem acreditar de fato nela. Isto está mais para um estranho fenômeno psicológico do que para uma peculariedade; contudo, um raciocinador instável não é necessariamente inconsistente.

Raciocinador estável:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador estável não é instável. Isto é, para todo p, se ele ou ela acredita em Bp, então ele ou ela acredita em p. Note que estabilidade é o inverso da normalidade. Diremos que um argumentador acredita que ele ou ela é estável se para toda proposição p, ele ou ela acredita que BBp→Bp (acreditando: "Se eu deveria acreditar que eu acredito em p, então eu realmente irei acreditar em p").

Raciocinador modesto:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador modesto é aquele para o qual toda proposição p é acreditável,  somente se ele ou ela acredita em p. Um raciocinador modesto nunca acredita em Bp→p a menos que ele ou ela acredite em p. Qualquer raciocinador reflexivo do tipo 4 é modesto. (Teorema de Löb)

Raciocinador estranho:Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador estranho é de tipo G e acredita que ele ou ela é inconsistente - mas está incorreto quanto a sua crença.

Raciocinador tímido:Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador tímido tem medo de acreditar em p [isto é, ele ou ela não acredita em p] se ele ou ela acredita em 

Aumentando os níveis de racionalidade Raciocinador Tipo 1:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Belief, Knowledge and Self-Awareness[dead link] [dead link]http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Modal Logics[dead link] [dead link]Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc.Rod Girle, Possible Worlds, McGill-Queen's University Press (2003) ISBN 0-7735-2668-4 ISBN 978-0773526686 Um raciocinador do Tipo 1 possui um conhecimento completo da Lógica proposicional, isto é, ele ou ela mais cedo ou mais tarde acredita em qualquer tautologia (qualquer proposição demonstrável por tabelas-verdade). Também, o conjunto de crenças dele ou dela (passado, presente e futuro) é logicamente fechado sob o modus ponens. Se ele ou ela em algum momento acreditar em p e acreditar em  p → q (p implica q), então ele ou ela irá (mais cedo ou mais tarde) acreditar em q.

Raciocinador Tipo 1* :Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Belief, Knowledge and Self-Awareness[dead link] [dead link]http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Modal Logics[dead link] [dead link]Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador do Tipo 1* acredita em todas as tautologias; o conjunto de sentenças dele ou dela (passado, presente e futuro) é logicamente fechado sob o modus ponens, e para qualquer proposição p e q, ele ou ela acredita em p→q, então ele ou ela também irá acreditar que, se ele ou ela acredita em p, então ele ou ela acreditará em q. O Tipo 1* possui "um pouquinho mais" de auto-consciência do que o raciocinador do Tipo 1.

Raciocinador do Tipo 2:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Belief, Knowledge and Self-Awareness[dead link] [dead link]http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Modal Logics[dead link] [dead link]Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador é do Tipo 2 se ele ou ela é do tipo 1, e se para todo p e q, ele ou ela (corretamente) acredita que: "Se eu deveria em algum momento acreditar em p e em p→q, então eu vou acreditar em q." Sendo do Tipo 1, ele ou ela também crê na proposição logicamente equivalente: B(p→q)→(Bp→Bq). Um raciocinador do Tipo 2 está ciente de que as crenças dele ou dela estão fechadas sob o modus ponens.

Raciocinador do Tipo 3:Smullyan, Raymond M., (1986) Logicians who reason about themselves, Proceedings of the 1986 conference on Theoretical aspects of reasoning about knowledge, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), pp. 341-352http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Belief, Knowledge and Self-Awareness[dead link] [dead link]http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Modal Logics[dead link] [dead link]Smullyan, Raymond M., (1987) Forever Undecided, Alfred A. Knopf Inc. Um raciocinador é do Tipo 3 se ele ou ela for um raciocinador normal do Tipo 2.