Em 1929, o físico Oskar Klein obteve um resultado surpreendente através da aplicação da equação de Dirac para o problema familiar de espalhamento de elétrons por uma barreira de potecial. Na mecânica quântica não-relativística, o tunelamento de elétrons em uma barreira é observado, com amortecimento exponencial. No entanto, o resultado de Klein mostrou que, se o potencial é da ordem da massa do elétron, , a barreira é quase transparente. Além disso, conforme o potencial se aproxima do infinito, a reflexão diminui e o elétron é sempre transmitido.
A aplicação imediata do paradoxo foi o modelo próton-elétron de Rutherford para partículas neutras dentro do núcleo, antes da descoberta do nêutron. O paradoxo apresentou uma objeção quântica com a noção de um elétron confinado dentro de um núcleo. Este paradoxo claro e preciso sugeriu que um elétron não pode ser confinado dentro de um núcleo por qualquer poço de potencial. O significado desse paradoxo foi intensamente debatida na ocasião.
Partículas sem massa
Considere uma partícula sem massa relativistica se aproximando de um potencial degrau de altura com energia e momento .
Imagem:step1.png
A função de onda da partícula, , segue a equação de Dirac independente do tempo:
E é a matriz de Pauli:
thumb|400px|right|Fig. 1 Descrição da relação de dispersão, o eixo x representa o momento enquanto que o eixo y representa a energia.
Assumindo que a partícula está se propagando a partir da esquerda, obtemos duas soluções — um antes do degrau, na região (1) e um abaixo do potencial, na região (2):
Onde os coeficientes , e são números complexos. Ambas as funções de onda incidente e transmitida estão associados com velocidade de grupo positiva (Linhas azuis na Fig.1), enquanto que a função de onda refletida é associado com velocidade de grupo negativa. (Linhas verdes na Fig.1)
Agora queremos calcular os coeficientes de transmissão e reflexão, Eles são derivados da correntes de amplitude de probabilidade.
A definição da corrente de probabilidade associada com a equação de Dirac é:
Nesse caso:
Os coeficientes de transmissão e reflexão são:
A continuidade da função de onda em , nos fornece:
E assim, o coeficiente de transmissão é 1 e não há reflexão.
Uma interpretação do paradoxo é de que um potencial degrau não pode inverter a direção da velocidade de grupo de uma partícula relativística sem massa. Esta explicação se adéqua melhor a solução de partícula única citada acima. Interpretações mais complexas são sugeridas na literatura, no contexto da teoria quântica de campos onde é mostrado que o tunelamento desenfreado ocorre devido à existência de pares de partículas-antipartícula no potencial.
Caso massivo
Para o caso massivo, os cálculos são semelhantes ao descrito acima. Os resultados são tão surpreendente como no caso sem massa. O coeficiente de transmissão é sempre maior do que zero, e se aproxima de 1 conforme o potencial degrau tende a infinito.
A zona Klein Se a energia da partícula está na faixa , então resultará em uma reflexo parcial ao invés de reflexão total.
Resoluções para o caso massivo
Enquanto a resolução tradicional utiliza produção de pares partícula / antipartícula no contexto da teoria quântica de campos (Hansen 1981), existe uma resolução mais simples que substitui a produção de pares físicos por um espalhamento de soluções de energia negativa sob a barreira (Alhaidari 2009). Esta estratégia foi também aplicada para obter soluções analíticas para a equação de Dirac para um poço quadrado infinito.
Outros casos
Estes resultados foram expandidos para dimensões maiores, e para outros tipos de potenciais, tais como um degrau linear, uma barreira quadrada, etc. Muitas experiências em transporte de elétrons no grafeno apoiam-se no paradoxo Klein para partículas sem massa.
Leituras adicionais
Ver também Lista de paradoxos Teoria quântica de campos Equação de Dirac
Klein Categoria:Mecânica quântica