Em cálculo, integração por substituição, também conhecido como substituição u ou mudança de variáveis, é um método para calcular integrais e antiderivadas. É a contraparte da regra da cadeia para derivadas, e pode ser vagamente considerada como o uso da regra da cadeia "para trás".
Substituição para uma única variável
Introdução Antes de estabelecer o resultado rigorosamente, consideremos um caso simples usando integral indefinida.
Calcular .
Definir . Isto significa que , ou, na forma diferencial . Assim
,
onde é uma constante arbitrária de integração.
Este procedimento é usado frequentemente, porém nem todas as integrais são de uma forma que permita seu uso. De qualquer forma, o resultado deve ser verificado mediante derivação e comparação com o integrando original.
Para integrais definidas os limites de integração também devem ser ajustados, mas o procedimento é basicamente o mesmo.
Integrais definidas Seja uma função diferenciável com derivada contínua, onde é um intervalo. Suponha que é uma função contínua. Então
Na notação de Leibniz, a substituição fornece
Trabalhando euristicamente com infinitesimais resulta a equação
que sugere a fórmula de substituição acima. (Esta equação pode ser colocada em uma base rigorosa interpretando-a como uma afirmação sobre formas diferenciais.) Pode-se ver o método de integração por substituição como uma justificativa parcial da notação de Leibniz para integrais e derivadas.
A fórmula é usada para transformar uma integral em outra integral que seja mais fácil de calcular. Assim, a fórmula pode ser lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda para simplificar uma dada integral. Quando usada da maneira anterior, às vezes é conhecido como substituição u ou substituição w, em que uma nova variável é definida como uma função da variável original encontrada dentro da função composta multiplicada pela derivada da função interna. A última maneira é comumente usada na substituição trigonométrica, substituindo a variável original por uma função trigonométrica de uma nova variável e o diferencial original pelo diferencial da função trigonométrica.
Prova A integração por substituição pode ser demonstrada a partir do teorema fundamental do cálculo como segue. Sejam e duas funções satisfazendo as hipóteses acima de que é contínua sobre e é integrável sobre o intervalo fechado . Então a função é também integrável sobre . Portanto as integrais
e
existem de fato, e resta mostrar que as mesmas são iguais.
Como é contínua, a mesma possui a antiderivada . A função composta é então definida. Dado que é diferenciável, combinando a regra da cadeia e a definição de uma antiderivada resulta
Aplicando o teorema fundamental do cálculo duas vezes resulta
que é a regra da substituição.
Exemplos Exemplo 1 Considere a integral
Faça a substituição para obter , significando . Portanto,
Como o limite inferior foi substituído por e o limite superior por , uma transformação de volta em termos de não é necessária.
Bibliografia
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Ligações externas Integration by substitution at Encyclopedia of Mathematics Area formula at Encyclopedia of Mathematics
Categoria:Cálculo integral