Em álgebra linear numérica, o algoritmo de autovalores de Jacobi é um método iterativo para o cálculo de autovalores e autovetores de uma matriz simétrica real (um processo conhecido como diagonalização). É nomeada após Carl Gustav Jakob Jacobi, quem primeiro propôs o método em 1846, mas que só se tornou amplamente utilizado na década de 1950, com o advento dos computadores.
Descrição
Dada S sendo uma matriz simétrica, e G = G(i,j,θ) sendo uma matriz de rotação de Givens. Então:
é simétrica e semelhante a S.
Além disso, S′ tem entradas:
onde s = sin(θ) e c = cos(θ).
Como G é ortogonal, S e S′ têm a mesma norma de Frobenius ||·||F (a raiz quadrada da soma dos quadrados de todos os elementos), o que nos permite escolher θ que satisfaça S′ij = 0, no caso em que S′ tem a maior soma dos quadrados na diagonal:
Igualando-se isso a 0 e rearranjando, temos
se (caso que a expressão acima não contempla), teremos
Com o objetivo de otimizar esse efeito, Sij deve ser o elemento com maior valor absoluto fora da diagonal. Esse elemento recebe o nome de pivô.
O método de Jacobi para autovalores efetua repetidamente rotações até que a matriz se torne aproximadamente diagonal por meio do ataque ao pivô a cada iteração. Assim, os elementos finais na diagonal principal são aproximações dos autovalores reais de S.
Categoria:Álgebra linear numérica