200px|right|thumb|Construção geométrica da curva pedal de em relação a Para uma curva e um ponto fixado a curva pedal de é o lugar geométrico dos pontos tais que é perpendicular a tangente da curva que passa por O ponto é chamado de ponto pedal. A curva pedal é a primeira de uma série de curvas etc.., onde é a curva pedal de é a curva pedal de e assim por diante.

Mais precisamente, em qualquer ponto sobre seja a reta tangente em Existe um único ponto sobre que ou é (no caso de pertencer a ) ou forma com a reta perpendicular a A curva pedal o conjunto dos tais pontos chamados de pé da perpendicular a a partir de conforme varia sobre pontos

Analogamente, existe um único ponto sobre a reta normal à em de forma que seja perpendicular à normal, assim é um retângulo (possivelmente degenerado). O lugar geométrico dos pontos é chamado curva contrapedal.

Equações Equação cartesiana Tome para ser a origem. Para obter uma curva dada pela equação se a equação da reta tangente em é escrita na forma

em seguida o vetor (cos α, sin α) é paralelo ao segmento e o comprimento de que é a distância da partir reta tangente à origem, é Também é representado em coordenadas polares por e trocando por produzimos a equação polar para a curva pedal.Edwards p. 164

Por exemplo,Segue Edwards p. 164 com para a elipse

a reta tangente em é

e escrever isso na forma descrita acima requer que

A equação para a elipse pode ser usada para eliminar and dando

e convertendo para dados

como a equação polar para a pedal. Isto é facilmente convertido para uma equação cartesiana

Equação Polar Seja P a origem, e C dado em coordenadas polares pela equação r = f(θ). Seja R=(r, θ) um ponto na curva, e X=(p, α) seu ponto correspondente na curva polar. Façamos que ψ denote o ângulo entre a reta tangente e o raio vetor. Ele é dado por:

Então

e

Essas equações podem ser usadas para produzir uma equação em p and α onde, quando transladado para r e θ, nos dá uma equação polar para a curva pedal. Edwards p. 164-5

Por exemplo,Follows Edwards p. 165 with m=1 seja a curva uma circunferência com r = a cos θ. Então

então

Também temos

Com isso a equação polar da pedal é:

Da equação Pedal A equação Pedal de uma curva e seu pedal são muito relacionados. Se P é pego como o ponto pedal e como a origem, então pode ser mostrado que o ângulo ψ entre a curva e o raio vetor no ponto R é igual ao ângulo correspondente para a curva pedal no ponto X. Se p é o tamanho da perpendicular de P até a tangente a curva (i.e. PX) e q é o tamanho da correspondente perpendicular desenhada de P até a tangente ao pedal, então por semelhança de triângulos

Disso segue imediatamente que se a equação Pedal da curva é f(p,r)=0 então a equação para a curva pedal é Williamson p. 228

Com isso, todos os pedais positivos e negativos podem ser computados facilmente se a equação pedal da curva é conhecida.

Equações Paramétricas Curva Pedal da Elipse

Seja

o vetor de R até P e sejam , as componentes normal e tangencial de com respeito a curva. Então é o vetor de R até X do qual a posição de X pode ser analisada.

Especificamente, se c é uma parametrização da curva então

parametriza a currva pedal (excetuando-se pontos onde c' é zero ou indefinido).

Para uma curva paramétrica definida, sua curva pedal com o ponto pedal (0,0) é definida como:

Propriedades Geométricas Considere um ângulo movendo-se rigidamente de forma que um de seus extremos seja fixo no ponto P, e o outro lado seja tangente a curva. Então, o vértice desse ângulo é X e traça assim, a curva pedal. Enquanto o ângulo se move, a direção do movimento em P é paralelo a PX a a direção do movimento em R é paralela a tangente T = RX. Portanto o centro instantâneo de rotação é a interseção da linha perpendicular a PX em P e perpendicular a RX em R, e esse ponto é Y. Assim, segue que a tangente à pedal em X é perpendicular a XY

Desenhe uma circunferência com diâmetro PR, então ela circunscreve o retângulo PXRY e XY é outro diâmetro. A circunferência e a pedal, são ambas perpendiculares a XY então elas são tangentes em X. Portanto a pedal é o envelope da circunferência com diâmetro PR onde R pertence à curva.

A linha YR é normal à curva e o envelope de tal normal e sua evoluta. Portanto YR é tangente a evoluta e o ponto Y é o pé da perpendicular de P a essa tangente, em outras palavras Y está no pedal da evoluta.

Exemplos Quando C é uma circunferência a discussão acima mostra que as definições seguintes of a limaçon são equivalentes: É o pedal da circunferência. É o envelope da circunferência cujo diametro tem um ponto final em um ponto fixo e o ontro ponto final que percorre a circunferência.

Pedais de curvas Específicas Pedals of some specific curves are:Edwards p. 167 Curva Equação Ponto de pedal Curva Pedal Circunferência Ponto da Circunferência Cardioid Circunferência Qualquer Ponto Limaçon Parábola Foco A reta tangente no vértice Parábola Vértice Cissoide of Diocles Conica Central Foco Circunferência auxiliar Cônica Central Centro (a hippopede) Hibérbole Retângular Centro Lemniscata de Bernoulli Espiral logarítmical

Ver também Lista de curvas

Referências

Leitura adicional Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. (Google books)

"Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley

Ligações externas

"Podaire d'une Courbe" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Categoria:Geometria diferencial Categoria:Curvas