A interpolação trigonométrica é um método de aproximar uma função por meio de uma soma de funções trigonométricas, isto é, funções seno e cosseno, de diferentes frequências, o objetivo da interpolação trigonométrica é encontrar uma função que passe por um determinado conjunto de pontos de dados, mas que também tenha um comportamento suave e periódico.
Na interpolação trigonométrica, a função é representada como uma série de Fourier, que é uma soma infinita de funções trigonométricas com diferentes frequências e coeficientes. Escolhendo as frequências e coeficientes apropriados, a série de Fourier pode ser usada para aproximar os pontos de dados.
A interpolação trigonométrica tem aplicações em muitas áreas, incluindo processamento de sinais, compressão de áudio e imagem e análise numérica. Também é usada no estudo de análise harmônica e análise de Fourier.
Formulação do Problema O polinômio trigonométrico de grau n tem a forma: com coeficientes: . Todo problema de interpolação é descrito como , onde . Como o polinômio trigonométrico tem período , podemos assumir que O problema agora é encontrar coeficientes, de forma que o polinômio trigonométrico satisfaça as condições de interpolação.
Se o número de pontos for ímpar: e
Se o número de pontos for par: e
Para ambos os casos:
Formulação no plano complexo Utilizando a fórmula de De Moivre, podemos reescrever a soma de seno e cosseno como
Então o polinômio pode ser escrito como
onde , e Se podemos reescrever como onde é um polinômio de grau O problema de interpolação, então, resume-se a
Exemplos Exemplo 1 Encontrar o polinômio interpolador trigonométrico de grau dois para em
de forma que e onde
Exemplo 2
Interpolar os seguintes pontos:
Número de pontos (par) Grau:
Resultado:
Categoria:Análise de Fourier Categoria:Análise numérica Categoria:Interpolação