miniaturadaimagem|Fluxograma das relações entre estruturas algébricas diversas Em teoria dos anéis, um domínio de integridade é de fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única) ou fatorial se: , se (onde é o conjunto das unidades de ) e temos que irredutíveis tal que . Seja e com irredutíveis e e bijeção, tal que é associado a .
Exemplos O anel dos números inteiros é um domínio fatorial. Usando o teorema fundamental da aritmética e sabendo que as unidades dos inteiros são 1 e -1 e que é associado a temos: , se e temos que irredutíveis tal que . Seja e com irredutíveis e e bijeção, tal que é associado a (isto é, como é primo então ou ). Todo corpo é, trivialmente, um domínio fatorial. Este exemplo não parece muito interessante, mas ganha importância como caso particular do próximo exemplo Se D é um domínio fatorial, então o anel de polinômios com coeficientes em D, D[x], também é um domínio fatorial
Unidades e D*
Seja um anel comutativo, é unidade, então tal que . O elemento é chamado de elemento inverso de .
é o conjunto de todas as unidades de . Logo é unidade, então . Seja a identidade. Como , então é unidade, e é seu próprio elemento inverso. Seja um corpo. , é unidade. Logo . Seja . 1, -1 são unidades. Como e . Então tal que , não é unidade. .
Divisão para anéis e elementos associados Sejam um anel comutativo e , (i. é divide ) se , tal que . E ainda, são associados se e . Seja um dominio: Seja associados. tal que e . Logo .Faça . Então . Logo é unidade. Assim unidade tal que . Seja tal que unidade com . Logo . Ainda mais, é unidade, logo tal que .Assim . E por fim . Logo e , logo são associados. Portanto em um domínio, são associados se e somente se unidade tal que . Em um corpo , , x e y são associados. Nos inteiros , é seu associado.
Elementos Irredutíveis
Seja um anel comutativo. Um elemento é irredutivel se , se e se com então ou é unidade.
Uma definição semelhante a de elemento irredutível é a de elemento primo ja que é primo se , e se com então ou . Seja um domínio e primo. Seja . Sem perda de generalidade, seja tal que . Como , então é unidade. Logo p é irredutivel. Seja . é um domínio, são irredutíveis, mas não são primos já que .
Referências Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas (Projeto Euclides) Richard A. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata; tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1974. 332 páginas. (com texto, problemas e exercícios)
Ligações externas Eric Campos Bastos Guedes; DOMÍNIO FATORIAL - mathfire.sites.uol.com.br
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