Coeficientes de diferenças finitas

Em matemática, para aproximar a derivada de uma função à uma ordem arbitrária de precisão, é possível usar diferenças finitas. A diferença finita pode ser central, para frente ou para trás.

Diferença Finita Central

Esta tabela contém os coeficientes das diferenças central, para a ordem várias de precisão:

Derivada Precisão −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 2       −1/2 0 1/2       4     1/12 −2/3 0 2/3 −1/12     6   −1/60 3/20 −3/4 0 3/4 −3/20 1/60   8 1/280 −4/105 1/5 −4/5 0 4/5 −1/5 4/105 −1/280 2 2       1 −2 1       4     −1/12 4/3 −5/2 4/3 −1/12     6   1/90 −3/20 3/2 −49/18 3/2 −3/20 1/90   8 −1/560 8/315 −1/5 8/5 −205/72 8/5 −1/5 8/315 −1/560 3 2     −1/2 1 0 −1 1/2     4   1/8 −1 13/8 0 −13/8 1 −1/8   6 −7/240 3/10 −169/120 61/30 0 −61/30 169/120 −3/10 7/240 4 2     1 −4 6 −4 1     4   −1/6 2 −13/2 28/3 −13/2 2 −1/6   6 7/240 −2/5 169/60 −122/15 91/8 −122/15 169/60 −2/5 7/240

Por exemplo, a terceira derivada com uma precisão de segunda ordem é:

Diferenças Finitas para Frente e para Trás

Esta tabela contém os coeficientes das diferenças para a frente, para várias ordens de precisão:

Derivada Precisão 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 −1 1               2 −3/2 2 −1/2             3 −11/6 3 −3/2 1/3           4 −25/12 4 −3 4/3 −1/4         5 −137/60 5 −5 10/3 −5/4 1/5       6 −49/20 6 −15/2 20/3 −15/4 6/5 −1/6     2 1 1 −2 1             2 2 −5 4 −1           3 35/12 −26/3 19/2 −14/3 11/12         4 15/4 −77/6 107/6 −13 61/12 −5/6       5 203/45 −87/5 117/4 −254/9 33/2 −27/5 137/180     6 469/90 −223/10 879/20 −949/18 41 −201/10 1019/180 −7/10   3 1 −1 3 −3 1           2 −5/2 9 −12 7 −3/2         3 −17/4 71/4 −59/2 49/2 −41/4 7/4       4 −49/8 29 −461/8 62 −307/8 13 −15/8     5 −967/120 638/15 −3929/40 389/3 −2545/24 268/5 −1849/120 29/15   6 −801/80 349/6 −18353/120 2391/10 −1457/6 4891/30 −561/8 527/30 −469/240 4 1 1 −4 6 −4 1         2 3 −14 26 −24 11 −2       3 35/6 −31 137/2 −242/3 107/2 −19 17/6     4 28/3 −111/2 142 −1219/6 176 −185/2 82/3 −7/2   5 1069/80 −1316/15 15289/60 −2144/5 10993/24 −4772/15 2803/20 −536/15 967/240

Por exemplo, a primeira derivada com uma precisão de terceira ordem e da segunda derivada com uma precisão de segunda ordem são:

enquanto as aproximações para trás correspondentes são dadas por:

Referências LLoyd N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Cornell University, 1996.

Categoria:Equações diferenciais numéricas Categoria:Diferenças finitas