O teorema de Lindemann–Weierstrass é um resultado útil para estabelecer a transcendência de um número. Afirma que se α1, α2, ...,αn são números algébricos linearmente independentes sobre o corpo dos números racionais , então são algebricamente independentes sobre ; ou seja, o grau de transcendência da extensão do corpo sobre é n.
Ferdinand von Lindemann demonstrou em 1882 que eα é transcendente para todo α algébrico não nulo, estabelecendo desta forma que π é transcendente. Karl Weierstrass demonstrou a forma mais geral deste teorema em 1885.
Este teorema, juntamente com o teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado como a conjectura de Schanuel.
Transcendência de e e π A transcendência de e e π é obtida como corolários deste teorema.
Suponhamos que α seja um número algébrico não nulo; então {α} é um conjunto linearmente independente sobre os racionais, e portanto {eα} é um conjunto algebricamente independente; em outras palavras, eα é transcendente. Em particular, e1 = e é transcendente.
Provemos agora que π é transcendente. Se π fosse algébrico, 2πi também o seria (porque 2i é algébrico), e portanto, segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass e2πi = 1 é transcendente. Porém sabemos que 1 é racional e portanto π é necessariamente transcendente.
Bibliografia Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X. Chapter 1, Theorem 1.4. David Hilbert, Ueber die Transcendenz der Zahlen e und .Mathematische Annalen 43 (1893), pp. 216–219 F. Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen, 20 (1882), pp. 213–225. Kurt Mahler, Lectures on transcendental numbers (Lecture Notes in Mathematics 546). Springer, Berlin 1976, ISBN 3-540-07986-6. Karl Weierstrass, Zu Lindemann‘s Abhandlung: „Über die Ludolph'sche Zahl“. '' Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 5 (1885), pp. 1067–1085.
Ver também Prova de irracionalidade do número de Euler
Ligações externas
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