Em análise matemática, a medida de Haar é uma forma de atribuir um volume invariante para subconjuntos de grupos localmente compactos e em seguida definir uma integral para funções nestes grupos.

Esta medida foi criada pelo matemático húngaro Alfréd Haar em 1932. A medida de Haar é utilizada em diversas partes da análise matemática, teoria dos números e teoria da estimativa.

Definição Suponha que G seja um grupo topológico localmente compacto. Para esta definição, a σ-álgebra gerada por todos subconjuntos compactos de G será chamada de álgebra de Borel.

Se a é um elemento de G e S é um subconjunto de G, então nós definimos as translações para esquerda e para direita de S da seguinte forma:

Translação a esquerda

Translação a direita

.

Uma medida μ nos subconjuntos de Borel de G é chamado de translação-esquerda-invariante se e somente se para todos subconjuntos de Borel S de G e todos a em G existe

Uma definição similar é feita para a translação à direita invariante.

Existência e unicidade da medida de Haar esquerda Acontece que existe, salvo um multiplicador constante positivo, apenas uma translação esquerda invariante adição sigma da medida regular μ no subconjunto de Borel G tal que para qualquer conjunto de Borel aberto e não vazio U. De forma que uma medida seja chamada de medida de Haar esquerda. Segundo Paul Halmos μ será regular se e somente se

é finito para todo conjunto compacto K; Todo conjunto de Borel E é exteriormente regular; : Todo conjunto de Borel R é internamente regular.

A existência da medida de Haar foi pela primeira vez comprada por André Weil. O caso especial para medidas invariantes em grupos compactos fora demonstrada em 1933 por Haar.

A integral de Haar Utilizando a teoria geral da integral de Lebesgue, pode-se definir uma integral para toda função de medida de Borel f em G. Esta integral é chamada de 'Integral de Haar.

Definição Se μ é a medida esquerda de Haar, então

para qualquer função integrável f''. Isto é obtido imediatamente pelas funções escalonadas, sendo essencialmente a definição da variante esquerda.

Ver também Dualidade de Pontryagin

Bibliografia

Ligações externas

Categoria:Teoria da medida Categoria:Análise matemática Categoria:Análise de Fourier