Categoria:Geometria diferencial Categoria:Geometria algébrica Categoria:Topologia algébrica Na matemática, a teoria de Hodge, cujo nome homenageia W. V. D. Hodge, é um método para estudar os grupos de coomologia de uma variedade suave utilizando equações diferenciais parciais. A observação chave é que, dada uma métrica riemanniana em , cada classe de coomologia possui um representante canônico, uma forma diferencial que se anula sob o operador Laplaciano da métrica. Tais formas são chamadas de harmônicas.
A teoria foi desenvolvida por Hodge na década de 1930 para o estudo da geometria algébrica, construindo sobre o trabalho de Georges de Rham em coomologia de de Rham. Ela possui grandes aplicações em dois cenários: nas variedades riemannianas e nas variedades de Kähler. A principal motivação de Hodge, o estudo de variedades projetivas complexas, é abarcada por este último caso. A teoria de Hodge tornou-se uma importante ferramenta na geometria algébrica, particularmente através da sua conexão com o estudo dos ciclos algébricos.
Embora a teoria de Hodge dependa intrinsecamente dos números reais e dos números complexos, ela pode ser aplicada a questões na teoria dos números. Em situações aritméticas, as ferramentas da teoria de Hodge p-ádica têm fornecido provas alternativas ou resultados análogos à teoria de Hodge clássica.
História O campo da topologia algébrica ainda era incipiente na década de 1920. Ainda não havia sido desenvolvida a noção de coomologia, e a interação entre formas diferenciais e a topologia era pouco compreendida. Em 1928, Élie Cartan publicou uma ideia, "Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos", na qual ele sugeriu—embora não tivesse provado—que as formas diferenciais e a topologia deveriam estar ligadas. Ao lê-la, Georges de Rham, então estudante, sentiu-se inspirado. Em sua tese de 1931, ele provou um resultado hoje conhecido como Teorema de de Rham. Pelo Teorema de Stokes, a integração de formas diferenciais ao longo de cadeias singulares induz, para qualquer variedade suave compacta , um emparelhamento bilinear, como demonstrado abaixo:
Como enunciado originalmente, o teorema de de Rham atesta que este é um emparelhamento perfeito e que, portanto, cada um dos termos do lado esquerdo são duais de espaço vetorial um do outro. Na linguagem contemporânea, o teorema de de Rham é mais frequentemente formulado como a afirmação de que a coomologia singular com coeficientes reais é isomorfa à coomologia de de Rham:
O enunciado original de de Rham é, então, uma consequência do fato de que, sobre os números reais, a coomologia singular é o dual da homologia singular.
Separadamente, um artigo de 1927 de Solomon Lefschetz usou métodos topológicos para provar novamente os teoremas de Riemann. Em linguagem moderna, se e são diferenciais holomorfos em uma curva algébrica , então o produto exterior deles é necessariamente zero porque tem apenas uma dimensão complexa; consequentemente, o produto cup das suas classes de coomologia é nulo, e, quando explicitado, isso forneceu a Lefschetz uma nova prova das relações de Riemann. Além disso, se é uma diferencial holomorfa não nula, então é uma forma de volume positiva, a partir da qual Lefschetz foi capaz de derivar novamente as desigualdades de Riemann. Em 1929, W. V. D. Hodge tomou conhecimento do artigo de Lefschetz. Ele imediatamente observou que princípios análogos se aplicavam a superfícies algébricas. Mais precisamente, se for uma forma holomorfa não nula numa superfície algébrica, então será positiva, logo, o produto cup de e deve ser não nulo. Conclui-se que a própria deve representar uma classe de coomologia não nula, portanto, seus períodos não podem ser todos nulos. Isto resolveu uma questão proposta por Severi.Michael Atiyah, William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975, Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 1976, vol. 22, pp. 169–192.
Hodge sentia que essas técnicas também deveriam ser aplicáveis a variedades de dimensões mais altas. Seu colega Peter Fraser recomendou a tese de de Rham a ele. Ao ler a tese de de Rham, Hodge percebeu que as partes real e imaginária de uma 1-forma holomorfa em uma superfície de Riemann eram, de certa forma, duais uma à outra. Ele suspeitava que deveria haver uma dualidade similar em dimensões maiores; essa dualidade é atualmente conhecida como o operador estrela de Hodge. Ele ainda conjecturou que cada classe de coomologia deveria ter um representante distinto com a propriedade de que tanto ela quanto o seu dual fossem anulados sob o operador diferencial exterior; essas são chamadas atualmente de formas harmônicas. Hodge devotou a maior parte da década de 1930 a este problema. Sua primeira tentativa de demonstração publicada surgiu em 1933, mas ele a considerava "extremamente rudimentar". Hermann Weyl, um dos matemáticos mais brilhantes daquela época, viu-se incapaz de determinar se a prova de Hodge estava correta ou não. Em 1936, Hodge publicou uma nova demonstração. Embora Hodge considerasse a nova demonstração bem superior, uma falha grave foi descoberta por Bohnenblust. De forma independente, Hermann Weyl e Kunihiko Kodaira modificaram a demonstração de Hodge a fim de reparar o erro. Isso determinou o isomorfismo procurado por Hodge entre formas harmônicas e classes de coomologia.Em retrospecto, fica claro que as dificuldades técnicas no teorema da existência realmente não exigiram quaisquer ideias novas e significativas, mas apenas uma extensão cuidadosa dos métodos clássicos. A verdadeira novidade, que foi a principal contribuição de Hodge, esteve na concepção das integrais harmônicas e em sua relevância para a geometria algébrica. Este triunfo do conceito sobre a técnica é reminiscente de um episódio semelhante no trabalho do grande predecessor de Hodge, Bernhard Riemann.
—M. F. Atiyah, William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, vol. 22, 1976, pp. 169–192.
Teoria de Hodge para variedades reais
Coomologia de de Rham A teoria de Hodge faz referência ao complexo de de Rham. Seja uma variedade suave. Para um número inteiro não negativo , seja o espaço vetorial real de formas diferenciais suaves de grau em . O complexo de de Rham é a sequência de operadores diferenciais
onde denota a derivada exterior em . Este é um complexo de cocadeias no sentido de que (também escrito como ). O teorema de de Rham afirma que a coomologia singular de com coeficientes reais é calculada pelo complexo de de Rham:
Operadores na teoria de Hodge Escolha uma métrica riemanniana em e relembre que:
A métrica produz um produto interno em cada fibra através da extensão (veja Matriz de Gram) do produto interno induzido por de cada fibra cotangente para o seu -ésimo produto exterior: . O produto interno de é então definido como a integral do produto interno pontual de um determinado par de -formas sobre no tocante à forma de volume associada a . De forma explícita, dadas algumas , temos
Naturalmente o produto interno acima induz uma norma, a qual quando é finita numa -forma fixa:
então o integrando é uma função de valor real e quadrado integrável em , avaliada em um dado ponto através de suas normas pontuais,
Considere o operador adjunto de em relação a esses produtos internos:
Então o Laplaciano das formas é definido por
Este é um operador diferencial linear de segunda ordem, generalizando o Laplaciano para funções no espaço . Por definição, uma forma sobre é harmônica se seu Laplaciano for nulo:
O Laplaciano surgiu primeiramente na física matemática. Em particular, as equações de Maxwell revelam que o campo eletromagnético no vácuo, isto é, na ausência de quaisquer cargas, é representado por uma 2-forma tal que no espaço-tempo, visto como um espaço de Minkowski de 4 dimensões.
Toda forma harmônica numa variedade riemanniana fechada é fechada, ou seja, . Como resultado, há uma aplicação canônica . O teorema de Hodge assevera que é um isomorfismo de espaços vetoriais.Warner (1983), Theorem 6.11. Em outras palavras, cada classe de coomologia real em tem um único representante harmônico. Concretamente, o representante harmônico é a única forma fechada de norma mínima em que representa uma dada classe de coomologia. O teorema de Hodge foi comprovado usando a teoria de equações diferenciais parciais elípticas, com os argumentos iniciais de Hodge tendo sido completados por Kodaira e outros na década de 1940.
Por exemplo, o teorema de Hodge implica que os grupos de coomologia com coeficientes reais de uma variedade fechada têm dimensão finita. (É verdade que existem outras maneiras de provar isto). Realmente, os operadores são elípticos, e o núcleo de um operador elíptico em uma variedade fechada é sempre um espaço vetorial de dimensão finita. Uma outra consequência do teorema de Hodge é a de que uma métrica riemanniana numa variedade fechada determina um produto interno de valor real sobre a coomologia integral de módulo sua torção. Segue-se que, por exemplo, a imagem do grupo de isometrias de no grupo linear geral é finita (pois o grupo das isometrias de um reticulado é finito).
Uma variante do teorema de Hodge é a decomposição de Hodge. Esta preconiza que existe uma decomposição única de qualquer forma diferencial em uma variedade riemanniana fechada como uma soma de três partes assumindo a forma
na qual é harmônica: .Warner (1983), Theorem 6.8. Expressado em termos da métrica do nas formas diferenciais, isso gera uma decomposição em soma direta ortogonal:
A decomposição de Hodge é uma generalização da decomposição de Helmholtz do complexo de de Rham.
Teoria de Hodge para complexos elípticos Atiyah e Bott definiram os complexos elípticos como uma generalização do complexo de de Rham. O teorema de Hodge se estende a este cenário da forma a seguir. Sejam fibrados vetoriais, munidos com métricas, em uma variedade suave fechada e com uma forma de volume . Suponha que
sejam operadores diferenciais lineares atuando em seções de classe desses fibrados vetoriais e que a sequência induzida
é um complexo elíptico. Defina as somas diretas:
e deixe ser o adjunto de . Defina o operador elíptico . Como no caso de de Rham, este origina o espaço vetorial de seções harmônicas
Seja a projeção ortogonal, e seja o operador de Green de . O teorema de Hodge assevera, então, o seguinte:Wells (2008), Theorem IV.5.2.
e são bem definidos. Id , A coomologia do complexo é canonicamente isomorfa ao espaço de seções harmônicas, , o que significa que cada classe de coomologia possui um representante harmônico único.
Também existe uma decomposição de Hodge para esta situação, generalizando a declaração acima do complexo de de Rham.
Teoria de Hodge em variedades projetivas complexas
Seja uma variedade projetiva complexa suave, o que significa que é uma subvariedade complexa fechada de algum espaço projetivo complexo . Pelo teorema de Chow, variedades projetivas complexas são automaticamente algébricas: elas são dadas pelo anulamento de equações polinomiais homogêneas em . A métrica riemanniana padrão de induz em uma métrica riemanniana que tem uma forte compatibilidade com a estrutura complexa, tornando numa variedade de Kähler.
Para uma variedade complexa e um número natural , cada -forma de classe em (com coeficientes complexos) pode ser escrita unicamente como uma soma de formas do tipo com , ou seja, formas que podem ser localmente expressas como uma soma finita de termos em que cada termo assume a forma
com uma função de classe e com 's e 's sendo funções holomorfas. Numa variedade de Kähler, os componentes de uma forma harmônica voltam a ser harmônicos. Sendo assim, para qualquer variedade de Kähler compacta , o teorema de Hodge dá uma decomposição da coomologia de de coeficientes complexos em uma soma direta de espaços vetoriais complexos:Huybrechts (2005), Corollary 3.2.12.