Em matemática, a coomologia etal de grupos de uma variedade algébrica ou esquema são análogos algébricos da usual coomologia de grupos com finitos coeficientes de um espaço topológico, introduzido por Alexander Grothendieck de maneira a provar as conjecturas de Weil. A teoria da coomologia etal pode ser usada para construir coomologia ℓ-ádica, a qual é um exemplo de uma teoria da coomologia de Weil em geometria algébrica. Isto tem muitas aplicações, tais como a demonstração das conjecturas de Weil e a construção de conjecturas e construção de representações de grupos finitos do tipo Lie.
História A coomologia étale foi introduzida por , com base em algumas sugestões de Jean-Pierre Serre, e foi motivada pela tentativa de construir uma teoria de coomologia de Weil para provar as conjecturas de Weil. Os fundamentos foram elaborados pouco depois por Grothendieck em conjunto com Michael Artin e publicados em e no SGA 4. Grothendieck utilizou a coomologia étale para provar algumas das conjecturas de Weil (Bernard Dwork já havia conseguido provar, em 1960, a parte da racionalidade da conjectura usando métodos p-ádicos), e a conjectura restante, o análogo da hipótese de Riemann, foi provada por Pierre Deligne (1974) usando coomologia ℓ-ádica.
Um contato adicional com a teoria clássica foi encontrado na forma da versão de Grothendieck do grupo de Brauer; isso foi logo aplicado à geometria diofantina, por Yuri Manin. O peso e o sucesso da teoria geral consistiram certamente tanto em integrar toda essa informação quanto em provar resultados gerais como a dualidade de Poincaré e o teorema do ponto fixo de Lefschetz nesse contexto.
Grothendieck desenvolveu originalmente a coomologia étale em um quadro extremamente geral, trabalhando com conceitos como topos de Grothendieck e universo de Grothendieck. Em retrospecto, grande parte desse aparato mostrou-se desnecessária para a maioria das aplicações práticas da teoria étale, e apresentou uma exposição simplificada da teoria da coomologia étale. O uso desses universos por Grothendieck (cuja existência não pode ser provada na teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel) levou a alguma especulação de que a coomologia étale e suas aplicações (como a prova do Último teorema de Fermat) exigiriam axiomas além de ZFC. Contudo, na prática, a coomologia étale é usada principalmente no caso de feixes construtíveis sobre esquemas de tipo finito sobre os inteiros, e isso não requer axiomas profundos de teoria dos conjuntos: com o devido cuidado, os objetos necessários podem ser construídos sem o uso de quaisquer conjuntos incontáveis, e isso pode ser feito em ZFC, e até mesmo em teorias muito mais fracas.
A coomologia étale rapidamente encontrou outras aplicações; por exemplo, Deligne e George Lusztig a utilizaram para construir representações de grupos finitos de tipo de Lie; veja teoria de Deligne–Lusztig.
Motivação Para variedades algébricas complexas, invariantes da topologia algébrica, como o grupo fundamental e os grupos de coomologia, são muito úteis, e seria desejável ter análogos deles para variedades sobre outros corpos, como corpos finitos. (Uma das razões para isso é que Weil sugeriu que as conjecturas de Weil poderiam ser provadas usando tal teoria de coomologia.) No caso da coomologia de feixes coerentes, Serre mostrou que se podia obter uma teoria satisfatória apenas usando a topologia de Zariski da variedade algébrica, e no caso das variedades complexas isso dá os mesmos grupos de coomologia (para feixes coerentes) que a topologia complexa, muito mais fina. Contudo, para feixes constantes, como o feixe dos inteiros, isso não funciona: os grupos de coomologia definidos usando a topologia de Zariski comportam-se mal. Por exemplo, Weil imaginava uma teoria de coomologia para variedades sobre corpos finitos com poder semelhante ao da coomologia singular usual de espaços topológicos, mas, na realidade, qualquer feixe constante sobre uma variedade irredutível tem coomologia trivial (todos os grupos de coomologia superiores se anulam).
A razão pela qual a topologia de Zariski não funciona bem é que ela é grosseira demais: tem muito poucos abertos. Parece não haver uma boa maneira de corrigir isso usando uma topologia mais fina sobre uma variedade algébrica geral. A percepção-chave de Grothendieck foi notar que não há razão para que os abertos mais gerais tenham de ser subconjuntos da variedade algébrica: a definição de um feixe funciona perfeitamente bem para qualquer categoria, e não apenas para a categoria dos subconjuntos abertos de um espaço. Ele definiu a coomologia étale substituindo a categoria dos subconjuntos abertos de um espaço pela categoria dos morfismos étales para um espaço: grosso modo, estes podem ser vistos como subconjuntos abertos de recobrimentos finitos não ramificados do espaço. Estes acabam por fornecer (após bastante trabalho) exatamente abertos suficientes para que se possam obter grupos de coomologia razoáveis para alguns coeficientes constantes, em particular para coeficientes Z/nZ quando n é coprimo com a característica do corpo sobre o qual se está trabalhando.
Algumas intuições básicas da teoria são estas:
A condição étale é a condição que permitiria aplicar o teorema da função implícita se ele valesse em geometria algébrica (mas não vale — funções algébricas implícitas eram chamadas de algebroid na literatura mais antiga). Há certos casos básicos, de dimensão 0 e 1, e também o caso de uma variedade abeliana, em que as respostas com feixes constantes de coeficientes podem ser previstas (via coomologia de Galois e módulos de Tate).
Definições Para qualquer esquema X, a categoria Et(X) é a categoria de todos os morfismos étales de um esquema para X. Ela é um análogo da categoria dos subconjuntos abertos de um espaço topológico, e seus objetos podem ser pensados informalmente como "subconjuntos abertos étales" de X. A interseção de dois abertos de um espaço topológico corresponde ao produto fibrado de dois morfismos étales para X. Há aqui um problema seteórico relativamente menor, pois Et(X) é uma categoria "grande": seus objetos não formam um conjunto.
Um pré-feixe sobre um espaço topológico X é um funtor contravariante da categoria dos subconjuntos abertos para a categoria dos conjuntos. Por analogia, definimos um pré-feixe étale sobre um esquema X como um funtor contravariante de Et(X) para a categoria dos conjuntos.
Um pré-feixe F sobre um espaço topológico é chamado de feixe se satisfaz a condição de feixe: sempre que um subconjunto aberto U é coberto por abertos Ui, e são dados elementos de F(Ui) para todo i, cujas restrições a Ui ∩ Uj coincidem para todos i, j, então eles são imagens de um único elemento de F(U). Por analogia, um pré-feixe étale é chamado de feixe se satisfaz a mesma condição (com as interseções de abertos substituídas por produtos fibrados de morfismos étales, e onde se diz que um conjunto de morfismos étales para U cobre U se o espaço topológico subjacente a U for a união de suas imagens). Mais geralmente, pode-se definir um feixe de modo semelhante para qualquer topologia de Grothendieck sobre uma categoria.
A categoria dos feixes de grupos abelianos sobre um esquema possui objetos injetivos suficientes, de modo que se podem definir os funtores derivados à direita de funtores exatos à esquerda. Os grupos de coomologia étale Hi(F) do feixe F de grupos abelianos são definidos como os funtores derivados à direita do funtor de seções,
(onde o espaço de seções Γ(F) de F é F(X)). As seções de um feixe podem ser pensadas como Hom(Z, F), em que Z é o feixe que devolve os inteiros como um grupo abeliano. A ideia de funtor derivado aqui é que o funtor de seções não respeita sequências exatas, já que não é exato à direita; de acordo com os princípios gerais da álgebra homológica, haverá uma sequência de funtores H0, H1, ... que representam as "compensações" que precisam ser feitas para restaurar alguma medida de exatidão (sequências exatas longas provenientes de curtas). O funtor H0 coincide com o funtor de seções Γ.
Mais geralmente, um morfismo de esquemas f : X → Y induz uma aplicação f∗ dos feixes étales sobre X para os feixes étales sobre Y, e seus funtores derivados à direita são denotados por Rqf∗, para q inteiro não negativo. No caso especial em que Y é o espectro de um corpo algebricamente fechado (um ponto), Rqf∗(F) é o mesmo que Hq(F).
Suponha que X seja um esquema noetheriano. Um feixe étale abeliano F sobre X é chamado de finito localmente constante se for representado por uma cobertura étale de X. Ele é chamado de construtível se X puder ser coberto por uma família finita de subesquemas, em cada um dos quais a restrição de F é finita localmente constante. Ele é chamado de de torção se F(U) for um grupo de torção para toda cobertura étale U de X. Feixes finitos localmente constantes são construtíveis, e feixes construtíveis são de torção. Todo feixe de torção é um limite indutivo filtrante de feixes construtíveis.
Grupos de coomologia ℓ-ádica Em aplicações à geometria algébrica sobre um corpo finito Fq de característica p, o principal objetivo era encontrar um substituto para os grupos de coomologia singular com coeficientes inteiros (ou racionais), que não estão disponíveis da mesma forma que na geometria de uma variedade algébrica sobre o corpo dos números complexos. A coomologia étale funciona bem para coeficientes Z/nZ com n coprimo a p, mas dá resultados insatisfatórios para coeficientes não de torção. Para obter grupos de coomologia sem torção a partir da coomologia étale, é preciso tomar um limite inverso de grupos de coomologia étale com certos coeficientes de torção; isso é chamado de coomologia ℓ-ádica, em que ℓ representa qualquer número primo diferente de p. Consideram-se, para esquemas V, os grupos de coomologia
e define-se o grupo de coomologia ℓ-ádica
como o seu limite inverso. Aqui Zℓ denota os inteiros ℓ-ádicos, mas a definição é feita por meio do sistema de feixes "constantes" com coeficientes finitos Z/ℓkZ. (Há aqui uma armadilha notória: a coomologia não comuta com a passagem a limites inversos, e o grupo de coomologia ℓ-ádica, definido como limite inverso, não é a coomologia com coeficientes no feixe étale Zℓ; este último grupo de coomologia também existe, mas dá os grupos de coomologia "errados".)
Mais geralmente, se F é um sistema inverso de feixes étales Fi, então a coomologia de F é definida como o limite inverso da coomologia dos feixes Fi
e, embora exista uma aplicação natural
esta não é, em geral, um isomorfismo. Um feixe ℓ-ádico é um tipo especial de sistema inverso de feixes étales Fi, em que i percorre os inteiros positivos, Fi é um módulo sobre Z/ℓi Z, e a aplicação de Fi+1 para Fi é simplesmente a redução módulo Z/ℓi Z.
Quando V é uma curva algébrica não singular de gênero g, H1 é um módulo livre sobre Zℓ de posto 2g, dual ao módulo de Tate da variedade jacobiana de V. Como o primeiro número de Betti de uma superfície de Riemann de gênero g é 2g, isto é isomorfo à coomologia singular usual com coeficientes em Zℓ para curvas algébricas complexas. Isso também mostra uma das razões pelas quais a condição ℓ ≠ p é necessária: quando ℓ = p, o posto do módulo de Tate é no máximo g.
Podem ocorrer subgrupos de torção, e isso foi aplicado por Michael Artin e David Mumford a questões geométricas. Para remover qualquer subgrupo de torção dos grupos de coomologia ℓ-ádica e obter grupos de coomologia que sejam espaços vetoriais sobre corpos de característica 0, define-se
Essa notação é enganosa: o símbolo Qℓ à esquerda não representa nem um feixe étale nem um feixe ℓ-ádico. A coomologia étale com coeficientes no feixe étale constante Qℓ também existe, mas é bastante diferente de . Confundir esses dois grupos é um erro comum.
Propriedades