Em álgebra diz-se que a é congruente a b módulo m se m|(a - b). Usamos como símbolo de a congruente a b modulo m :.
Breve história Carl Friedrich Gauss foi o grande introdutor da congruência, pois começou a mostrar ao mundo a congruência a partir de um trabalho realizado em 1801, Disquisitiones Arithmeticae, quando tinha apenas 24 anos de idade. Várias ideias usadas na teoria dos números foram introduzidas neste trabalho, até mesmo o símbolo usado na congruência atualmente foi o que Gauss usou naquela época.
Propriedade da congruência Se então existe um inteiro k tal que a = b + km. Sempre ; Se , então: ; Se e , então: ; Se e , então Se , então: , onde c é um inteiro; Se , então: , onde c é um inteiro; Se , então: , onde c é um inteiro; Se e , então: ; Se e , então: ; Se e , então: ; Observe que desta última propriedade acima deriva que: Se e é um número inteiro positivo, então: ;
Se , então: , onde d é o máximo divisor comum de c e m. Se e e , então:
(Isto vale não apenas para dois fatores, como no caso, a e b).
Devido a uma propriedade das potências e outra das congruências já apresentadas: Se , então .
Congruência linear Chamemos de congruência linear em uma variável x uma congruência da forma: .
Propriedade da congruência linear Tenhamos uma congruência e seja d o MDC de a e m, então se d não divide b, não temos nenhuma solução, mas, se d|b então temos exatamente d soluções incongruentes modulo m.
Equação Diofantina Uma equação diofantina é uma equação da forma . Seja o MDC de e , se não divide então não teremos nenhuma solução inteira, mas, se então existem infinitas soluções inteiras dadas pela forma: e , onde e são soluções particulares e é qualquer inteiro.
Ver também Aritmética modular Teorema de Euler Pequeno teorema de Fermat Teorema de Wilson Teorema do resto chinês Identidade de Bézout
Categoria:Aritmética modular