thumb|upright=1.2|Os inteiros 3-ádicos, representados como uma fatia de um solenoide
Em teoria dos números, dado um número primo , os números -ádicos formam uma extensão dos números racionais que é distinta dos números reais, embora com algumas propriedades semelhantes; números -ádicos podem ser escritos em uma forma semelhante a decimais (possivelmente infinitos), mas com dígitos baseados em um número primo em vez de dez, e estendendo-se para a esquerda em vez de para a direita.
Por exemplo, comparando a expansão do número racional na base com a expansão -ádica,
Formalmente, dado um número primo , um número -ádico pode ser definido como uma sérieonde é um inteiro (possivelmente negativo), e cada é um inteiro tal que Um inteiro -ádico é um número -ádico tal que
Em geral, a série que representa um número -ádico não é convergente no sentido usual, mas é convergente para o valor absoluto -ádico onde é o menor inteiro tal que (se todos os são zero, tem-se o número -ádico zero, que tem como seu valor absoluto -ádico).
Todo número racional pode ser expresso de forma única como a soma de uma série como acima, com respeito ao valor absoluto -ádico. Isso permite considerar os números racionais como números -ádicos especiais, e alternativamente definir os números -ádicos como o completamento dos números racionais para o valor absoluto -ádico, exatamente como os números reais são o completamento dos números racionais para o valor absoluto usual.
Os números -ádicos foram descritos pela primeira vez por Kurt Hensel em 1897, embora, em retrospecto, alguns dos trabalhos anteriores de Ernst Kummer possam ser interpretados como usando implicitamente números -ádicos.
Motivação
Grosso modo, a aritmética modular módulo um inteiro positivo consiste em "aproximar" todo inteiro pelo resto de sua divisão por , chamado de seu resíduo módulo . A principal propriedade da aritmética modular é que o resíduo módulo do resultado de uma sucessão de operações sobre inteiros é o mesmo que o resultado da mesma sucessão de operações sobre resíduos módulo .
Ao estudar equações diofantinas, às vezes é útil reduzir a equação módulo um primo , pois isso geralmente fornece mais informações sobre a própria equação. Infelizmente, fazer isso perde algumas informações porque a redução não é injetiva.
Uma maneira de preservar mais informações é usar módulos maiores, como potências primas superiores, , . No entanto, isso tem a desvantagem de não ser um corpo, o que perde muitas das propriedades algébricas que tem.
Kurt Hensel descobriu um método que consiste em usar um módulo primo e aplicar o lema de Hensel para levantar soluções módulo para módulo , . Este processo cria uma sequência infinita de resíduos, e um número -ádico é definido como o "limite" de tal sequência.
Essencialmente, os números -ádicos permitem "tomar módulo para todos os de uma vez". Uma característica distintiva dos números -ádicos da aritmética modular comum é que o conjunto dos números -ádicos forma um corpo, tornando possível a divisão por (ao contrário de quando se trabalha módulo ). Além disso, o mapeamento é injetivo, portanto não se perde muita informação ao reduzir para números -ádicos.
Descrição informal
Existem várias maneiras de entender os números -ádicos.
Como uma expansão na base
Uma maneira de pensar sobre os inteiros -ádicos é usar a "base ". Por exemplo, todo inteiro pode ser escrito na base ,
Informalmente, inteiros -ádicos podem ser pensados como inteiros na base , mas os dígitos se estendem infinitamente para a esquerda.
A adição e a multiplicação em inteiros -ádicos podem ser realizadas de uma maneira um tanto semelhante aos inteiros na base .
Ao somar dois inteiros -ádicos, por exemplo , seus dígitos são somados com "vai-um" sendo propagados da direita para a esquerda.
A multiplicação de inteiros -ádicos funciona de maneira semelhante através da multiplicação longa. Como a adição e a multiplicação podem ser realizadas com inteiros -ádicos, eles formam um anel, denotado ou .
Observe que alguns números racionais também podem ser inteiros -ádicos, mesmo que não sejam inteiros no sentido real. Por exemplo, o número racional é um inteiro 3-ádico e tem a expansão 3-ádica . No entanto, alguns números racionais, como , não podem ser escritos como um inteiro -ádico. Por causa disso, os inteiros -ádicos são generalizados ainda mais para números -ádicos:
Números -ádicos podem ser pensados como inteiros -ádicos com finitos dígitos após a vírgula decimal. Um exemplo de um número 3-ádico é
Equivalentemente, todo número -ádico é da forma , onde é um inteiro -ádico.
Para qualquer número -ádico não nulo , seu inverso multiplicativo também é um número -ádico, que pode ser calculado usando uma variante da divisão longa. Por esta razão, os números -ádicos formam um corpo, denotado ou .
Como uma sequência de resíduos mod k
Outra maneira de definir inteiros -ádicos é representando-os como uma sequência de resíduos mod para cada inteiro , Aqui cada denota um representante inteiro de uma classe de resíduos módulo
satisfazendo as relações de compatibilidade para . Nesta notação, a adição e a multiplicação de inteiros -ádicos são definidas componente a componente:
Isso é equivalente à definição na base , porque os últimos dígitos de uma expansão na base definem exclusivamente seu valor mod k, e vice-versa.
Esta forma também pode explicar por que alguns números racionais são inteiros -ádicos, mesmo que não sejam inteiros. Por exemplo, é um inteiro 3-ádico, porque sua expansão 3-ádica consiste nos inversos multiplicativos de 5 mod 3, 32, 33, ...
Definição
Existem várias definições equivalentes de números -ádicos. As duas abordagens fornecidas abaixo são relativamente elementares.
Como séries formais na base
Um inteiro -ádico é frequentemente definido como uma série de potências formal da forma onde cada representa um "dígito na base ".
Uma unidade -ádica é um inteiro -ádico cujo primeiro dígito é não nulo, ou seja, . O conjunto de todos os inteiros -ádicos é geralmente denotado .
Um número -ádico é então definido como uma série de Laurent formal da forma onde é um inteiro (possivelmente negativo), e cada . Equivalentemente, um número -ádico é qualquer coisa da forma , onde é um inteiro -ádico.
O primeiro índice para o qual o dígito é não nulo em é chamado de valoração -ádica de , denotada . Se , então tal índice não existe, então por convenção .
Nesta definição, adição, subtração, multiplicação e divisão de números -ádicos são realizadas de maneira semelhante aos números na base , com "vai-um" ou "empresta-um" movendo-se da esquerda para a direita em vez da direita para a esquerda. Como exemplo em ,
A divisão de números -ádicos também pode ser realizada "formalmente" via divisão de séries de potências formais, com algum cuidado em relação à necessidade de "carregar".
Com essas operações, o conjunto dos números -ádicos forma um corpo, denotado .
Como classes de equivalência
Os números -ádicos também podem ser definidos como classes de equivalência, de maneira semelhante à definição de números reais como classes de equivalência de sequências de Cauchy. Baseia-se fundamentalmente no seguinte lema:
Todo número racional não nulo pode ser escrito como onde , e são inteiros e nem nem são divisíveis por .
O expoente é determinado exclusivamente por e é chamado de valoração -ádica, denotada . A prova do lema resulta diretamente do teorema fundamental da aritmética.
Uma série -ádica é uma série de Laurent formal da formaonde é um inteiro (possivelmente negativo) e os são números racionais que são zero ou têm uma valoração não negativa (isto é, o denominador de não é divisível por ).
Todo número racional pode ser visto como uma série -ádica com um único termo não nulo, consistindo de sua fatoração da forma com e ambos coprimos com .
Duas séries -ádicas e são equivalentes se existe um inteiro tal que, para todo inteiro o número racionalé zero ou tem uma valoração -ádica maior que .
Uma série -ádica é normalizada se ou todos os são inteiros tais que e ou todos os são zero. Neste último caso, a série é chamada de série zero.
Toda série -ádica é equivalente a exatamente uma série normalizada. Esta série normalizada é obtida por uma sequência de transformações, que são equivalências de séries; veja § Normalização de uma série -ádica, abaixo.
Em outras palavras, a equivalência de séries -ádicas é uma relação de equivalência, e cada classe de equivalência contém exatamente uma série -ádica normalizada.
As operações usuais de séries (adição, subtração, multiplicação, divisão) são compatíveis com a equivalência de séries -ádicas. Isto é, denotando a equivalência com , se , e são séries -ádicas não nulas tais que tem-se
Com isso, os números -ádicos são definidos como as classes de equivalência de séries -ádicas.
A propriedade de unicidade da normalização permite representar unicamente qualquer número -ádico pela série -ádica normalizada correspondente. A compatibilidade da equivalência de séries leva quase imediatamente às propriedades básicas dos números -ádicos: Adição, multiplicação e inverso multiplicativo de números -ádicos são definidos como para séries de potências formais, seguidos pela normalização do resultado. Com essas operações, os números -ádicos formam um corpo, que é um corpo de extensão dos números racionais. A valoração de um número -ádico não nulo , comumente denotada , é o expoente de no primeiro termo não nulo da série normalizada correspondente; a valoração de zero é O valor absoluto -ádico de um número -ádico não nulo é para o número -ádico zero, tem-se
Normalização de uma série p-ádica Começando com a série desejamos chegar a uma série equivalente tal que a valoração -ádica de seja zero. Para isso, considera-se o primeiro não nulo. Se sua valoração -ádica é zero, basta mudar para , ou seja, começar a soma a partir de . Caso contrário, a valoração -ádica de é e onde a valoração de é zero; assim, obtém-se uma série equivalente alterando para e para Iterando este processo, obtém-se eventualmente, possivelmente após infinitos passos, uma série equivalente que ou é a série zero ou é uma série tal que a valoração de é zero.
Então, se a série não é normalizada, considere o primeiro não nulo que não é um inteiro no intervalo Usando o lema de Bézout, escreva-o como , onde e tem valoração não negativa. Então, obtém-se uma série equivalente substituindo por e adicionando a Iterando este processo, possivelmente infinitas vezes, fornece eventualmente a série -ádica normalizada desejada.
Outras definições equivalentes
Outras definições equivalentes usam completamento de um anel de valoração discreta (veja ), completamento de um espaço métrico (veja ), ou limites inversos (veja ).
Um número -ádico pode ser definido como uma série -ádica normalizada. Como existem outras definições equivalentes que são comumente usadas, diz-se frequentemente que uma série -ádica normalizada representa um número -ádico, em vez de dizer que ela é um número -ádico.
Pode-se dizer também que qualquer série -ádica representa um número -ádico, pois toda série -ádica é equivalente a uma única série -ádica normalizada. Isso é útil para definir operações (adição, subtração, multiplicação, divisão) de números -ádicos: o resultado de tal operação é obtido normalizando o resultado da operação correspondente em séries. Isso define bem operações em números -ádicos, uma vez que as operações em séries são compatíveis com a equivalência de séries -ádicas.