Uma variedade algébrica é o conjunto de zeros de uma família de polinômios, e constitui o objeto principal de estudo da geometria algébrica. Pelo conceito de variedade algébrica é possível constituir uma relação entre a álgebra e a geometria, que permite se reformular problemas geométricos em termos algébricos, e vice-versa. Tal relação é baseada principalmente no fato que um polinômio complexo em uma variável é completamente determinado em seus zeros: o teorema dos zeros de Hilbert permite de fato estabelecer-se uma correspondência entre variedade algébrica e ideal de anéis de polinômios.

Visão geral e definições Uma variedade afim sobre um corpo algebricamente fechado é conceitualmente o tipo mais fácil de variedade de se definir, o que será feito nesta seção. Em seguida, pode-se definir variedades projetivas e quase-projetivas de maneira semelhante. A definição mais geral de uma variedade é obtida juntando-se variedades quase-projetivas menores. Não é óbvio que se possa construir exemplos genuinamente novos de variedades desta maneira, mas Nagata deu um exemplo de uma dessas novas variedades na década de 1950.

Variedades afins

Para um corpo algebricamente fechado K e um número natural n, seja An um espaço afim n-dimensional sobre K, identificado a Kn através da escolha de um sistema de coordenadas afim. Os polinômios f no anel K[x1, ..., xn] podem ser vistos como funções com valores em K sobre An avaliando f nos pontos em An, ou seja, escolhendo valores em K para cada xi. Para cada conjunto S de polinômios em K[x1, ..., xn], define-se o lugar geométrico dos zeros Z(S) como sendo o conjunto de pontos em An nos quais as funções em S se anulam simultaneamente, isto é:

Um subconjunto V de An é chamado de conjunto algébrico afim se V = Z(S) para algum S. Um conjunto algébrico afim não vazio V é chamado de irredutível se não puder ser escrito como a união de dois subconjuntos algébricos próprios. Um conjunto algébrico afim irredutível também é chamado de variedade afim. (Alguns autores usam a expressão variedade afim para se referir a qualquer conjunto algébrico afim, seja ele irredutível ou não.Hartshorne, p. xv, Harris, p. 3)

Pode-se dar às variedades afins uma topologia natural declarando que os conjuntos fechados são precisamente os conjuntos algébricos afins. Esta topologia é chamada de topologia de Zariski.

Dado um subconjunto V de An, definimos I(V) como sendo o ideal de todas as funções polinomiais que se anulam em V:

Para qualquer conjunto algébrico afim V, o anel de coordenadas ou anel de estrutura de V é o quociente do anel de polinômios por esse ideal.

Variedades projetivas e variedades quase-projetivas

Seja k um corpo algebricamente fechado e seja Pn o espaço projetivo n-dimensional sobre k. Seja f em k[x0, ..., xn] um polinômio homogêneo de grau d. Não é bem definido avaliar f em pontos de Pn em coordenadas homogêneas. No entanto, como f é homogêneo, significando que f(λx0, ..., λxn) = λdf(x0, ..., xn), faz sentido perguntar se f se anula em um ponto [x0 : ... : xn]. Para cada conjunto S de polinômios homogêneos, define-se o lugar geométrico dos zeros de S como sendo o conjunto de pontos em Pn nos quais as funções em S se anulam:

Um subconjunto V de Pn é chamado de conjunto algébrico projetivo se V = Z(S) para algum S. Um conjunto algébrico projetivo irredutível é chamado de variedade projetiva.

As variedades projetivas também são equipadas com a topologia de Zariski declarando-se que todos os conjuntos algébricos são fechados.

Dado um subconjunto V de Pn, seja I(V) o ideal gerado por todos os polinômios homogêneos que se anulam em V. Para qualquer conjunto algébrico projetivo V, o anel de coordenadas de V é o quociente do anel de polinômios por esse ideal.

Uma variedade quase-projetiva é um subconjunto aberto de Zariski de uma variedade projetiva. Observe que toda variedade afim é quase-projetiva usando a carta x0 = 0.Hartshorne, Exercício I.2.9, p. 12 Observe também que o complemento de um conjunto algébrico numa variedade afim é uma variedade quase-projetiva; no contexto das variedades afins, tal variedade quase-projetiva normalmente não é chamada de variedade, mas sim de conjunto construtível.

Variedades abstratas Na geometria algébrica clássica, todas as variedades eram, por definição, variedades quase-projetivas, o que significa que elas eram subvariedades abertas de subvariedades fechadas de um espaço projetivo. Por exemplo, no Capítulo 1 do livro Algebraic Geometry de Hartshorne, uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado é definida como sendo uma variedade quase-projetiva, mas do Capítulo 2 em diante, o termo variedade (também chamada de variedade abstrata) refere-se a um objeto mais geral, que localmente é uma variedade quase-projetiva, mas quando visto como um todo não é necessariamente quase-projetivo; ou seja, pode não ter um mergulho em um espaço projetivo. Então, classicamente, a definição de uma variedade algébrica exigia um mergulho no espaço projetivo, e esse mergulho era usado para definir a topologia na variedade e as funções regulares na variedade. A desvantagem de tal definição é que nem todas as variedades vêm com mergulhos naturais no espaço projetivo. Por exemplo, sob esta definição, o produto P1 × P1 não é uma variedade até que seja mergulhado em um espaço projetivo maior; isto geralmente é feito pelo mergulho de Segre. Além disso, qualquer variedade que admita um mergulho no espaço projetivo admite muitos outros, por exemplo, compondo o mergulho com o mergulho de Veronese; assim, muitas noções que deveriam ser intrínsecas, como a de uma função regular, não o são de forma óbvia.

A primeira tentativa bem-sucedida de definir uma variedade algébrica de forma abstrata, sem um mergulho, foi feita por André Weil em sua obra Foundations of Algebraic Geometry, usando valorizações. Claude Chevalley elaborou a definição de um esquema, que serviu a um propósito semelhante, mas era mais geral. No entanto, a definição de esquema de Alexander Grothendieck é ainda mais geral e recebeu a aceitação mais ampla. Na linguagem de Grothendieck, uma variedade algébrica abstrata é geralmente definida como um esquema integral, separado e de tipo finito sobre um corpo algebricamente fechado, embora alguns autores abandonem a condição de irredutibilidade, a de ser reduzido ou a condição de separação, ou permitam que o corpo subjacente não seja algebricamente fechado. As variedades algébricas clássicas são os esquemas quase-projetivos integrais separados de tipo finito sobre um corpo algebricamente fechado.

Existência de variedades algébricas abstratas não quase-projetivas Um dos primeiros exemplos de uma variedade algébrica não quase-projetiva foi dado por Nagata. O exemplo de Nagata não era completo (o análogo da compacidade), mas logo depois ele encontrou uma superfície algébrica que era completa e não projetiva. Desde então, outros exemplos foram encontrados: por exemplo, é direto construir variedades tóricas que não são quase-projetivas, mas completas. descreve uma variedade tórica completa que não tem nenhum fibrado de linhas não trivial; logo, em particular, ela não possui fibrado de linhas amplo.

Variedades afins

Dado o corpo algebricamente fechado e um espaço afim de dimensão sobre os polinômios do anel são funções a valores em definidas sobre

Tomada uma família de polinômios o conjunto dos pontos de pelos quais as funções de são todas nulas:

é dito conjunto algébrico afim. Se não pode ser escrito como união própria de dois conjuntos algébricos semelhantes, é dita variedade afim.

Propriedades

Sobre as variedades afins é possível definir uma topologia natural definindo como conjuntos fechados todos os conjuntos algébricos (topologia de Zariski). Dado é o ideal formato de todas as funções que se anulam sobre

Se define anel da coordenadas de o anel quociente O grau de transcendência do campo das frações de sobre é dito dimensão de Um conjunto algébrico afim é uma variedade se e somente se é um ideal primo, ou se e somente se o anel das coordenadas de é um domínio de integridade. Todo conjunto algébrico afim pode ser escrito de maneira única como união de variedades algébricas.

Exemplos

Subvariedade Uma subvariedade é um subconjunto de uma variedade que é em si uma variedade (com respeito à estrutura topológica induzida pela variedade ambiente). Por exemplo, todo subconjunto aberto de uma variedade é uma variedade. Veja também imersão fechada.

O Nullstellensatz de Hilbert diz que as subvariedades fechadas de uma variedade afim ou projetiva estão em correspondência biunívoca com os ideais primos ou ideais primos homogêneos não irrelevantes do anel de coordenadas da variedade.

Variedade afim

Exemplo 1 Seja k = C, e A2 seja o espaço afim bidimensional sobre C. Polinômios no anel C[x, y] podem ser vistos como funções de valores complexos em A2 avaliando-os nos pontos em A2. Seja um subconjunto S de C[x, y] contendo um único elemento f(x, y):

O lugar geométrico dos zeros de f(x, y) é o conjunto de pontos em A2 nos quais esta função se anula: é o conjunto de todos os pares de números complexos (x, y) tais que y = 1 − x. Isso é chamado de reta no plano afim. (Na topologia clássica proveniente da topologia sobre os números complexos, uma reta complexa é uma variedade real de dimensão dois). Este é o conjunto Z(f):

Assim, o subconjunto V = Z(f) de A2 é um conjunto algébrico. O conjunto V não é vazio. Ele é irredutível, pois não pode ser escrito como a união de dois subconjuntos algébricos próprios. Portanto, é uma variedade algébrica afim.

Exemplo 2 Seja k = C, e A2 seja o espaço afim bidimensional sobre C. Polinômios no anel C[x, y] podem ser vistos como funções de valores complexos em A2 avaliando-os nos pontos em A2. Seja um subconjunto S de C[x, y] contendo um único elemento g(x, y):

O lugar geométrico dos zeros de g(x, y) é o conjunto de pontos em A2 nos quais esta função se anula, ou seja, o conjunto de pontos (x, y) tais que x2 + y2 = 1. Como g(x, y) é um polinômio absolutamente irredutível, esta é uma variedade algébrica. O conjunto de seus pontos reais (isto é, os pontos para os quais x e y são números reais) é conhecido como círculo unitário; esse nome também é frequentemente dado a toda a variedade.

Exemplo 3 O exemplo a seguir não é uma hipersuperfície, nem um espaço linear, nem um único ponto. Seja A3 o espaço afim tridimensional sobre C. O conjunto de pontos (x, x2, x3) para x em C é uma variedade algébrica e, mais precisamente, uma curva algébrica que não está contida em nenhum plano.Harris, p. 9; que ela é irredutível é declarado como um exercício em Hartshorne p. 7 É a cúbica torcida mostrada na figura acima. Ela pode ser definida pelas equações

A irredutibilidade deste conjunto algébrico precisa de uma demonstração. Uma abordagem neste caso é verificar se a projeção (x, y, z) ↦ (x, y) é injetiva no conjunto das soluções e se a sua imagem é uma curva plana irredutível.

Para exemplos mais difíceis, uma prova semelhante sempre pode ser dada, mas pode implicar um cálculo difícil: primeiro, o cálculo de uma base de Gröbner para calcular a dimensão, seguido por uma mudança linear aleatória de variáveis (nem sempre necessária); depois, o cálculo de uma base de Gröbner para outra ordem monomial a fim de calcular a projeção e provar que ela é genericamente injetiva e que a sua imagem é uma hipersuperfície, e finalmente uma fatoração polinomial para provar a irredutibilidade da imagem.

Grupo linear geral