miniaturadaimagem|direita|Gráfico tridimensional do valor absoluto da função gama complexa Em análise complexa, o resíduo de uma função analítica f numa singularidade p é um número complexo que permite calcular o valor de um integral de linha de f cuja imagem esteja na vizinhança de p. Há métodos simples de cálculo de resíduos e, por outro lado, o conhecimento dos resíduos de f permite calcular integrais de f ao longo de lacetes arbitrários, através do teorema dos resíduos.
Motivação Como exemplo, considere a integral de contorno
onde C é uma curva de Jordan em torno de 0.
Agora calculamos essa integral utilizando os teoremas padrões de integral disponíveis. Assim, a série de Taylor para ez é conhecida, e podemos substituir esta série no integrando. A integral passa a ser
Trazendo o termo 1/z5 para dentro da série, obtemos
A integral agora toma uma forma muito mais simples. Lembre-se que
Então, a integral em torno de C de todos os termos que não estão na forma cz−1 são iguais a zero e a integral é reduzida a
O valor 1/4! é conhecido como o resíduo de ez/z5 em z = 0, e denotado como
Definição Seja um subconjunto aberto do plano complexo , e um ponto de . Seja
uma função holomorfa, que apresenta em uma singularidade isolada e possui uma única expansão local na série de Laurent
O resíduo de em é o coeficiente da série de Laurent.
Ver também Teorema dos resíduos Fórmula integral de Cauchy Teorema de Cauchy-Goursat Teorema de Morera
Bibliografia L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979. Ruel V. Churchill, Complex variables and applications, McGrall Hill, 1960
Ligações externas Eric W. Weisstein, Complex Residue no MathWorld.
Categoria:Análise complexa Categoria:Números complexos