Em teoria da probabilidade e em estatística, uma distribuição de probabilidade descreve o comportamento aleatório de um fenômeno dependente do acaso. O estudo dos fenômenos aleatórios começou com o estudo dos jogos de azar – jogos de dados, sorteios de bolas de urna e cara ou coroa eram motivações para compreender e prever os experimentos aleatórios. Essas abordagens iniciais são fenômenos discretos, o que significa que o número de resultados possíveis é finito ou contável. Entretanto, certas questões revelam distribuições de probabilidade com suporte infinito não contável. Por exemplo, quando o lançamento de uma moeda tende ao infinito, o número de coroas aproxima-se de uma distribuição normal.
Flutuações e variabilidade estão presentes em quase todo valor que pode ser medido durante a observação de um fenômeno, independente de sua natureza, além disso quase todas as medidas possuem uma parte de erro intrínseco. A distribuição de probabilidade pode modelar incertezas e descrever fenômenos físicos, biológicos, econômicos, entre outros. O domínio da estatística permite o encontro das distribuições de probabilidade adaptadas aos fenômenos aleatórios.
Há muitas distribuições de probabilidade diferentes. Entre as distribuições de probabilidade, a distribuição normal tem uma importância particular. De acordo com o teorema central do limite, a distribuição normal aborda o comportamento assintótico de várias distribuições de probabilidade.
O conceito de distribuição de probabilidade é formalizado matematicamente pela teoria da medida – uma distribuição de probabilidade é uma medida muitas vezes vista como uma distribuição que descreve o comportamento de uma variável aleatória discreta ou contínua. Uma medida é uma distribuição de probabilidade se sua massa total for 1. O estudo de uma variável aleatória de acordo com uma distribuição de probabilidade discreta revela o cálculo de somas e de séries, enquanto que o estudo de uma variável aleatória de acordo com uma distribuição de probabilidade absolutamente contínua revela o cálculo de integrais. As funções particulares permitem caracterizar as distribuições de probabilidade como a função de distribuição e a função característica.
Definição informal Teoricamente uma descrição de probabilidade descreve a característica aleatória de uma experiência aleatória. O conceito de experiência aleatória surgiu para descrever um processo real de natureza experimental, em que o acaso intervém com resultados possíveis bem identificados. Por exemplo, em um lançamento de um dado não viciado (um evento aleatório) os resultados podem ser um número entre 1 e 6 com igual probabilidade (de acordo com a distribuição de probabilidade, há a mesma chance de saírem os seis resultados com probabilidade igual a um sexto).
Historicamente distribuições de probabilidade foram estudadas em jogos de azar, jogos de dados, jogos de cartas, entre outros. Se os possíveis resultados dos fenômenos forem números contáveis, a distribuição de probabilidade é chamada discreta. Dar a distribuição de probabilidade significa dar a lista de valores possíveis com suas probabilidades associadas. Ela é dada por meio de uma fórmula, uma tabela de valores, uma árvore de probabilidade ou funções que serão detalhadas nas seções seguintes.
Em um contexto mais amplo, se os números dos resultados possíveis de um fenômeno aleatório forem finitos (contáveis ou incontáveis) em vez de infinitos, a distribuição de probabilidade descreve a distribuição de probabilidade dos resultados possíveis, mas caracterizados como funções (funções densidade, funções distribuição, entre outros) ou como medidas.
Histórico
thumb|alt=|Ilustração de uma pirâmide formada por feixes convergentes que superam uma curva de Gauss. Ela representa a placa de Galton, concebida em 1889, usada para visualizar a curva de Gauss como distribuição limite.
O uso do acaso existe desde os tempos antigos, especialmente em jogos de azar, em apostas de riscos de transportes marítimos ou em rendas vitalícias. Entretanto, uma das primeiras referências conhecidas para os cálculos de probabilidade é um cálculo elementar sobre a Divina Comédia que aparece apenas no século XV durante o Renascimento. Os primeiros tratados formam o início da teoria da probabilidade, principalmente com base em probabilidades combinatórias. Os problemas surgem à respeito da duração de um jogo de cartas:
Reconhece-se a probabilidade (a aposta) de uma variável (a duração de um jogo) ser menor que um valor (um certo número determinado), que representa a função de distribuição da distribuição de probabilidade de um jogo.
Essa é a tese de Nicolau Bernoulli, publicada em 1711, em que aparece pela primeira vez a distribuição uniforme. Então, outras distribuições apareceram como a distribuição binomial e a distribuição normal, embora suas abordagens não sejam completamente rigorosas— por exemplo, a distribuição normal foi desenvolvida por Abraham de Moivre com uma curva de Gauss por uma aproximação numérica. No século XVIII, outras ideias de distribuições de probabilidade emergiram com a expectativa de uma variável aleatória discreta com Jean le Rond D'Alembert ou de probabilidades condicionais com Thomas Bayes. Algumas distribuições de probabilidade contínuas estão contidas em uma memória de Joseph—Louis Lagrange, de 1770.
O uso rigoroso das distribuições de probabilidade começou a partir do século XIX nas ciências aplicadas como na biometria com Karl Pearson ou na física estatística com Ludwing Boltzmann.
A definição formal das medidas de probabilidade surgiu em 1896 com uma publicação de Émile Borel, continuando com outros matemáticos como Henri—Léon Lebesgue, Maurice René Fréchet, Paul Lévy e principalmente Andrei Kolmogorov que formulou os axiomas de probabilidade em 1933.
Definição matemática Em teoria da probabilidade, uma distribuição de probabilidade é uma medida com massa total igual a 1. Essa medida satisfaz os três axiomas de probabilidade.
Definição — Para um espaço mensurável , é uma distribuição de probabilidade, medida de probabilidade ou simplesmente probabilidade se: é uma aplicação de em [0,1]; ; é –aditiva. Isto é, para qualquer família finita ou contável de elementos disjuntos de Uma consequência imediata é: . é chamado de espaço de probabilidade. Usualmente a palavra distribuição é usada quando tratamos de uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória definida em um espaço de probabilidade .
Definição — Seja uma variável aleatória real no espaço de probabilidade. Isto é, uma função mensurável . A distribuição de probabilidade da variável aleatória é a medida de probabilidade definida sobre o espaço mensurável por para qualquer álgebra de Borel real . Em outras palavras, é a medida de imagem de para .
Então, para definir a distribuição de uma variável aleatória, transpõe-se a distribuição de probabilidade de em uma medida de .
A representação de uma distribuição por uma variável aleatória não é única. Em outras palavras, duas variáveis aleatórias diferentes ou duas variáveis aleatórias definidas em espaços diferentes podem ter a mesma distribuição. Duas variáveis aleatórias reais e têm a mesma distribuição (em termos de igualdade de medidas). Isto é, para todo . O seguinte teorema permite uma caracterização adicional.
Teorema de transferência ou de transporte — Seja uma variável aleatória real . Logo,
para toda função , de tal modo que pelo menos uma das duas integrais existe. A última integral, do ponto de vista da teoria da medida, é uma integral da função em relação à medida . Essa integral tem forma de soma, no caso das distribuições discretas. Então, duas variáveis aleatórias reais e têm a mesma distribuição se para qualquer função , tal que existe pelo menos um dos dois termos da igualdade.
Distribuição multidimensional thumb|alt=|Distribuição normal bidimensional ou produto de duas distribuições normais unidimensionais.
Uma distribuição de probabilidade é chamada de multidimensional ou -dimensional quando descreve vários valores (aleatórios) de um fenômeno aleatório, por exemplo, no lançamento de dois dados a distribuição de probabilidade dos dois resultados é uma distribuição bidimensional. Então, a característica multidimensional aparece por meio da transferência por uma variável aleatória de um espaço de probabilidade para um espaço numérico , de dimensão , por exemplo, no lançamento de dois dados a dimensão é e o espaço é . A distribuição multidimensional também é chamada de distribuição conjunta.
Um exemplo importante da distribuição multidimensional é a probabilidade produto , em que e são duas distribuições unidimensionais. Essa distribuição de probabilidade é uma distribuição de um par de variáveis aleatórias independentes. Esse é o caso do exemplo do lançamento de dois dados.
Definição — Seja uma variável aleatória no espaço de probabilidade , com valores em equipada com produtos de algebras de Borel . A distribuição da variável aleatóriaé a medida de probabilidade definida para todo
A variável aleatória é identificada a um vetor aleatório de dimensões : . O teorema de Cramer-Wold estabelece que a distribuição (-dimensional) do vetor aleatório é completamente determinado pelas distribuições (unidimensionais) de todas as combinações lineares dos componentes: para todo .
Distribuição absolutamente contínua thumb|alt=|Ilustração de três esquemas em branco e preto, com uma nuvem de pontos em forma de triângulo à esquerda e duas curvas à direita. Elas representam duas coordenadas (dimensão 1 e dimensão 2) de dois pontos que se aproximam cada uma com uma distribuição normal. Isto é, uma simulação de distribuição bidimensional em que as duas distribuições marginais são normais.Uma distribuição bidimensional ou -dimensional é chamada de absolutamente contínua em quando a distribuição é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue em . Isto é, se a distribuição da variável aleatória correspondente é descrita como
,
para todo
Distribuição marginal
Uma distribuição marginal de um vetor aleatório é a distribuição dos seus componentes. Para obter-la, projeta-se a distribuição em um espaço unidimensional de uma coordenada desejada. A distribuição de probabilidade da -ésima coordenada de um vetor aleatório é chamada de -ésima distribuição marginal . A distribuição marginal de é obtida pela fórmula
,
para todo .
As distribuições marginais de uma distribuição absolutamente contínua são expressas com suas densidades marginais.
Distribuição condicional
thumb|upright=1.5|alt=|Ilustração de uma árvore binária de dois andares orientada da esquerda para a direita. Ela representa a aplicação de uma distribuição condicional, em que + significa que o indivíduo é positivo para o teste de drogas e U significa que o indivíduo é usuário de drogas é a probabilidade de o teste ser positivo para um indivíduo usuário de drogas. Uma distribuição de probabilidade condicional permite descrever o comportamento de um fenômeno aleatório quando a informação sobre o processo é conhecida. Em outras palavras, a probabilidade condicional permite avaliar o grau de dependência estocástica entre dois eventos, por exemplo, no lançamento de dois dados a distribuição condicional pode dar a soma dos resultados sabendo que o resultado do lançamento de um dos dois dados foi pelo menos quatro.
Definição para eventos A probabilidade condicional é definida em eventos pela probabilidade : a probabilidade de um evento A qualquer condicionado a um evento B. Para quaisquer e da σ-álgebra subjacente tal que
.
Em probabilidade e em estatística, a distribuição de probabilidade comumente usada em distribuição da probabilidade total ou no teorema de Bayes.
Definição para variáveis aleatórias A probabilidade condicional também é definida para as variáveis aleatórias. Seja uma variável X condicional a uma variável Y. Quando , a distribuição de dado é definida por
.