thumb|200px|A hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 tem comprimento raiz quadrada de dois
A raiz quadrada de dois, denotada , é o único número real positivo cujo quadrado (ou seja, o resultado de sua multiplicação por si próprio) é dois: .
A raiz quadrada de dois é um número irracional,Vitrúvio, De Architetura, Livro IX, Introdução, 4 [em linha]No texto, Vitrúvio escreve que a determinação de um número que corresponde à diagonal de um quadrado com lado igual a dez pés não pode ser feita por números, o que, segundo interpretação de Bill Thayer, editor do site LacusCurtius, significa que não pode ser feita por uma fração com números inteiros. ou seja, não é possível encontrar dois números inteiros e tais que
Acredita-se que tenha sido o primeiro número irracional reconhecido como tal. Esta importante descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. De acordo com uma lenda, a demonstração teria custado a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as ideias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número (inteiro).Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
Um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 tem hipotenusa com comprimento .
A fração (≈ 1.4142857) por vezes é usada como uma boa aproximação racional com um denominador razoavelmente pequeno.
A sequência A002193 na Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras consiste nos dígitos da expansão decimal da raiz quadrada de 2, aqui truncada para 65 casas decimais:
Notação A raiz quadrada de dois pode ser escrita como: , lê-se "raiz quadrada de dois" ou "raiz de dois". ou , lê-se "dois elevado a um meio" ou "dois a um meio".
Aproximação decimal da raiz quadrada de 2 Por ser um número irracional, não pode ser expressa como um número finito de casas decimais, uma aproximação com 65 dígitos decimais é: .
Uma aproximação fracionária para a raiz quadrada de 2 é 10/7 que, ao quadrado, fica 100/49, bem próximo de 2.
Sequência convergente a raiz quadrada de dois Pode-se facilmente construir uma sequência de números racionais se aproximando (convergindo) para :
Esta recursão produz a sequência:
Ou, aproximadamente:
Observe que o método estabiliza a nona casa decimal após apenas cinco passos.
Inexistência de um número racional cujo quadrado seja 2 O matemático britânico Godfrey Harold Hardy em seu livro Em defesa de um matemático afirma que a demonstração da irracionalidade da raiz quadrada de dois é um dos teoremas de "primeira classe". E que "conserva a beleza e o frescor que tinha ao ser descoberto" há mais de dois mil anos.
A demonstração é simples e recorre ao método da prova por contradição. Ou seja, supomos que exista um número racional igual a raiz de 2, ou seja, que existem números inteiros positivos e tais que:
ou, equivalentemente:
Podemos supor que e não são ambos números pares, pois se fossem, poderíamos simplificar a fração até obter um dos termos da fração ímpar.
Agora, escrevemos:
Então:
Concluímos então que deve ser um número par, pois é dobro de . E deve ser par também, pois o quadrado de um número ímpar é ímpar.
Temos então que é um número par e, portanto, é o dobro de algum número inteiro, digamos :
Pelos motivos alegados anteriormente, deve ser um número par.
Concluímos, finalmente, que se a raiz quadrada de 2 fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível, já que tanto o numerador quanto o denominador da fração são pares. Isto é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, como queríamos demonstrar.
Aplicações Tamanho de Papéis Em 1786, o professor alemão de física Georg Christoph Lichtenberg descobriu que qualquer folha de papel cuja borda longa seja vezes maior que sua borda curta poderia ser dobrada ao meio e alinhada com seu lado mais curto para produzir uma folha com exatamente as mesmas proporções como o original. Esta proporção de comprimentos do lado mais longo sobre o lado mais curto garante que o corte de uma folha ao meio ao longo de uma linha resulta em folhas menores tendo a mesma proporção (aproximada) da folha original. Quando a Alemanha padronizou os tamanhos de papel no início do século XX, eles usaram a proporção de Lichtenberg para criar a série "A" de tamanhos de papel. Hoje, a proporção (aproximada) dos tamanhos de papel em ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1:
Ciências físicas Existem algumas propriedades interessantes envolvendo a raiz quadrada de 2 nas ciências físicas:
A raiz quadrada de dois é a razão de frequência de um intervalo de trítono em uma música de temperamento igual de doze tons. A raiz quadrada de dois forma a relação de f-stops em lentes fotográficas, o que, por sua vez, significa que a proporção das áreas entre duas aberturas sucessivas é 2. A latitude celestial (declinação) do Sol durante os pontos astronômicos de um quarto de dia cruzado é igual à inclinação do eixo do planeta dividido por
Ligações externas
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