thumb|Para a multiplicação de matrizes, o número de colunas na primeira matriz deve ser igual ao número de linhas na segunda matriz. A matriz resultante tem o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda matriz. Em matemática, especificamente em álgebra linear, a multiplicação de matrizes é uma operação binária que produz uma matriz a partir de duas matrizes. Para a multiplicação de matrizes, o número de colunas na primeira matriz deve ser igual ao número de linhas na segunda matriz. A matriz resultante, conhecida como produto matricial, tem o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda matriz. O produto das matrizes e é denotado como .

A multiplicação de matrizes foi descrita pela primeira vez pelo matemático francês Jacques Philippe Marie Binet em 1812, para representar a composição de aplicações lineares que são representadas por matrizes. A multiplicação de matrizes é, portanto, uma ferramenta básica da álgebra linear e, como tal, tem inúmeras aplicações em muitas áreas da matemática, bem como na matemática aplicada, estatística, física, economia e engenharia. Calcular produtos de matrizes é uma operação central em todas as aplicações computacionais da álgebra linear.

Notação Este artigo usará as seguintes convenções de notação: matrizes são representadas por letras maiúsculas em negrito, e.g. ; vetores em minúsculas em negrito, e.g. ; e as entradas de vetores e matrizes são itálicas (são números de um corpo), e.g. e . A notação de índices é frequentemente a maneira mais clara de expressar definições e é usada como padrão na literatura. A entrada na linha , coluna da matriz é indicada por , ou . Em contraste, um único subscrito, e.g. , é usado para selecionar uma matriz (não uma entrada de matriz) de uma coleção de matrizes.

Definições Matriz vezes matriz Se é uma matriz e é uma matriz ,

o produto matricial (denotado sem sinais de multiplicação ou pontos) é definido como a matriz

tal que

para e .

Isto é, a entrada do produto é obtida multiplicando termo a termo as entradas da -ésima linha de e da -ésima coluna de , e somando esses produtos. Em outras palavras, é o produto escalar da -ésima linha de e da -ésima coluna de .

Portanto, também pode ser escrito como

Assim, o produto é definido se e somente se o número de colunas em for igual ao número de linhas em , neste caso .

Na maioria dos cenários, as entradas são números, mas podem ser qualquer tipo de objetos matemáticos para os quais uma adição e uma multiplicação são definidas, que são associativas, e tais que a adição é comutativa, e a multiplicação é distributiva em relação à adição. Em particular, as entradas podem ser próprias matrizes (ver matriz bloco).

Matriz vezes vetor Um vetor de comprimento pode ser visto como um vetor coluna, correspondendo a uma matriz cujas entradas são dadas por Se é uma matriz , o produto matriz-vetor denotado por é então o vetor que, visto como um vetor coluna, é igual à matriz Em notação de índices, isso equivale a:

Uma maneira de ver isso é que as mudanças de vetor "simples" para vetor coluna e vice-versa são assumidas e deixadas implícitas.

Vetor vezes matriz Similarmente, um vetor de comprimento pode ser visto como um vetor linha, correspondendo a uma matriz . Para deixar claro que um vetor linha é pretendido, é costume neste contexto representá-lo como a transposta de um vetor coluna; assim, ver-se-ão notações como A identidade é válida. Em notação de índices, se é uma matriz , equivale a:

Vetor vezes vetor Um vetor com n componentes pode ser representado como uma matriz (um vetor linha) ou como uma matriz (um vetor coluna). Supondo que e são ambos vetores coluna, o produto escalar (ou produto interno) é igual à única entrada da matriz resultante da multiplicação matricial do vetor linha com o vetor coluna , i.e. .

A multiplicação matricial entre o vetor coluna e o vetor linha , também conhecida como produto externo , dará, em vez disso, uma matriz .

Ilustração direita|thumb

A figura à direita ilustra diagramaticamente o produto de duas matrizes e , mostrando como cada interseção na matriz produto corresponde a uma linha de e uma coluna de .

Os valores nas interseções, marcados com círculos na figura à direita, são:

Aplicações fundamentais Historicamente, a multiplicação de matrizes foi introduzida para facilitar e esclarecer cálculos em álgebra linear. Esta forte relação entre multiplicação de matrizes e álgebra linear permanece fundamental em toda a matemática, bem como na física, química, engenharia e ciência da computação.

Aplicações lineares Se um espaço vetorial tem uma base finita, seus vetores são cada um representados de forma única por uma sequência finita de escalares, chamada de vetor de coordenadas, cujos elementos são as coordenadas do vetor na base. Esses vetores de coordenadas formam outro espaço vetorial, que é isomorfo ao espaço vetorial original. Um vetor de coordenadas é comumente organizado como uma matriz coluna (também chamada de vetor coluna), que é uma matriz com apenas uma coluna. Assim, um vetor coluna representa tanto um vetor de coordenadas quanto um vetor do espaço vetorial original.

Uma aplicação linear de um espaço vetorial de dimensão para um espaço vetorial de dimensão aplica um vetor coluna

no vetor coluna

A aplicação linear é, portanto, definida pela matriz

e aplica o vetor coluna no produto matricial

Se é outra aplicação linear do espaço vetorial precedente de dimensão para um espaço vetorial de dimensão , ela é representada por uma matriz Um cálculo direto mostra que a matriz da aplicação composta é o produto matricial A fórmula geral ) que define a composição de funções é instanciada aqui como um caso específico da associatividade do produto matricial (ver abaixo):

Rotações geométricas

Usando um sistema de coordenadas cartesianas em um plano euclidiano, a rotação por um ângulo em torno da origem é uma aplicação linear. Mais precisamente,

onde o ponto de origem e sua imagem são escritos como vetores coluna.

A composição da rotação por e por corresponde então ao produto matricial

onde identidades trigonométricas apropriadas são empregadas para a segunda igualdade. Ou seja, a composição corresponde à rotação pelo ângulo , como esperado.

Alocação de recursos em economia thumb|400px|O cálculo da entrada inferior esquerda de corresponde à consideração de todos os caminhos (destacados) do bem básico ao produto final no grafo de fluxo de produção. Como exemplo, uma fábrica fictícia usa 4 tipos de bens básicos, para produzir 3 tipos de bens intermediários, , que por sua vez são usados para produzir 3 tipos de produtos finais, . As matrizes   e   fornecem a quantidade de bens básicos necessários para uma dada quantidade de bens intermediários, e a quantidade de bens intermediários necessários para uma dada quantidade de produtos finais, respectivamente. Por exemplo, para produzir uma unidade do bem intermediário , uma unidade do bem básico , duas unidades de , nenhuma unidade de e uma unidade de são necessárias, correspondendo à primeira coluna de .

Usando a multiplicação de matrizes, calcula-se

esta matriz fornece diretamente as quantidades de bens básicos necessários para determinadas quantidades de bens finais. Por exemplo, a entrada inferior esquerda de é calculada como , refletindo que unidades de são necessárias para produzir uma unidade de . De fato, uma unidade de é necessária para , uma para cada uma das duas , e para cada uma das quatro unidades de que entram na unidade de , veja a figura.

Para produzir, por exemplo, 100 unidades do produto final , 80 unidades de e 60 unidades de , as quantidades necessárias de bens básicos podem ser calculadas como

isto é, unidades de , unidades de , unidades de , unidades de são necessárias. Da mesma forma, a matriz produto pode ser usada para calcular as quantidades necessárias de bens básicos para outros dados de quantidade de produtos finais. Aqui: Exm.5.4.10, p.205-206

Sistema de equações lineares A forma geral de um sistema de equações lineares é

Usando a mesma notação acima, tal sistema é equivalente à única equação matricial

Produto escalar, forma bilinear e forma sesquilinear O produto escalar de dois vetores coluna é a única entrada do produto matricial

onde é o vetor linha obtido por transpondo . (Como de costume, uma matriz 1×1 é identificada com sua única entrada.)

Mais geralmente, qualquer forma bilinear sobre um espaço vetorial de dimensão finita pode ser expressa como um produto matricial

e qualquer forma sesquilinear pode ser expressa como

onde denota a transposta conjugada de (conjugado da transposta, ou equivalentemente transposta do conjugado).

Propriedades gerais A multiplicação de matrizes compartilha algumas propriedades com a multiplicação usual. No entanto, a multiplicação de matrizes não é definida se o número de colunas do primeiro fator difere do número de linhas do segundo fator, e é não comutativa, mesmo quando o produto permanece definido após mudar a ordem dos fatores.

Não comutatividade Uma operação é comutativa se, dados dois elementos e tais que o produto é definido, então também é definido, e

Se e são matrizes de tamanhos respectivos e , então é definido se , e é definido se . Portanto, se um dos produtos é definido, o outro não precisa ser definido. Se , os dois produtos são definidos, mas têm tamanhos diferentes; portanto, não podem ser iguais. Somente se , isto é, se e são matrizes quadradas do mesmo tamanho, ambos os produtos são definidos e do mesmo tamanho. Mesmo neste caso, tem-se em geral

Por exemplo

mas

Este exemplo pode ser expandido para mostrar que, se é uma matriz com entradas em um corpo , então para toda matriz com entradas em , se e somente se onde , e é a matriz identidade. Se, em vez de um corpo, as entradas devem pertencer a um anel, então deve-se adicionar a condição de que pertence ao centro do anel.

Um caso especial onde a comutatividade ocorre é quando e são duas matrizes diagonais (do mesmo tamanho); então . Novamente, se as matrizes são sobre um anel geral em vez de um corpo, as entradas correspondentes em cada uma também devem comutar entre si para que isso seja válido.

Distributividade O produto matricial é distributivo em relação à adição de matrizes. Isto é, se são matrizes de tamanhos respectivos , , e , respectivamente, tem-se (distributividade à esquerda)

e (distributividade à direita)

Isso resulta da distributividade para coeficientes por

Produto com um escalar Se é uma matriz e um escalar, então as matrizes e são obtidas multiplicando à esquerda ou à direita todas as entradas de por . Se os escalares têm a propriedade comutativa, então

Se o produto é definido (isto é, o número de colunas de é igual ao número de linhas de ), então e Se os escalares têm a propriedade comutativa, então todas as quatro matrizes são iguais. Mais geralmente, todas as quatro são iguais se pertence ao centro de um anel contendo as entradas das matrizes, porque neste caso, para todas as matrizes .

Essas propriedades resultam da bilinearidade do produto de escalares:

Transposição Se os escalares têm a propriedade comutativa, a transposta de um produto de matrizes é o produto, na ordem inversa, das transpostas dos fatores. Isto é

onde T denota a transposta, isto é, a troca de linhas e colunas.

Esta identidade não é válida para entradas não comutativas, pois a ordem entre as entradas de e é invertida, quando se expande a definição do produto matricial.

Conjugado complexo Se e têm entradas complexas, então

onde denota o conjugado complexo entrada a entrada de uma matriz.

Isso resulta da aplicação à definição de produto matricial do fato de que o conjugado de uma soma é a soma dos conjugados das parcelas e o conjugado de um produto é o produto dos conjugados dos fatores.