Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Cantor, em referência ao matemático alemão Georg Cantor, possui fundamental importância.
Sua particularização na reta real recebe o nome de teorema dos intervalos encaixantes.
Enunciado Seja uma seqüência de conjuntos fechados limitados não-vazios encaixados, ou seja, . Assuma, ainda, que , ou seja, que o diâmetro dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:
Então a intersecção é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.
Demonstração Como cada é não-vazio, podemos escolher um ponto pertencente a ele:
Como , temos que toda a seqüência está contida em .
Mas é uma Sucessão de Cauchy, pois: , pois .
Dado que toda Sucessão de Cauchy é convergente num espaço métrico completo, existe um ponto limite tal que:
Como os conjuntos são fechados e o limite de uma seqüência é invariante por cortes finitos, temos:
Assim .
Para provar que é, de fato, o único elemento pertencente à intersecção, considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja: , com O fato que implica
Escolha tal que:
Da definição de diâmetro e do fato que , deve valer: , um absurdo.
Aplicações É utilizado na demonstração do teorema da categoria de Baire.
Categoria:Análise matemática Categoria:Topologia (matemática) Categoria:Georg Cantor