Medida 180px|alt=Conjuntos encaixados, acompanhados de seus volumes, e o conjunto vazio com medida zero. Se , então . Área Teoria da medida Notação usual Domínio Uma sigma-álgebra Valores Condições e aditividade enumerável
Em matemática, uma medida é uma generalização e formalização de medidas geométricas, como comprimento, área e volume, e de outras noções usuais, como magnitude, massa e probabilidade de eventos. Esses conceitos, embora pareçam distintos, têm propriedades em comum e podem ser estudados dentro de uma mesma estrutura matemática. As medidas são usadas na teoria das probabilidades e na teoria da integração, e podem ser generalizadas para admitir valores negativos, como ocorre com uma medida com sinal que modele uma distribuição de carga elétrica. Há extensões como as medidas espectrais e as medidas com valores em operadores positivos, usadas na mecânica quântica.
A ideia de atribuir comprimentos, áreas e volumes a figuras remonta à Grécia Antiga. Arquimedes estudou a área de um círculo em sua obra sobre a medida do círculo.Arquimedes, Measuring the Circle. A teoria da medida se tornou um ramo próprio da matemática no fim do século XIX e no começo do século XX. Suas bases modernas foram desenvolvidas nos trabalhos de Émile Borel, Henri Lebesgue, Nikolai Luzin, Johann Radon, Constantin Carathéodory e Maurice Fréchet, entre outros. Thomas William Hawkins relacionou o desenvolvimento da noção de mensurabilidade à teoria das integrais múltiplas, em especial ao trabalho de Camille Jordan.
Definição miniatura|350px|Aditividade enumerável de uma medida . A medida de uma união enumerável de conjuntos disjuntos é igual à soma das medidas desses conjuntos.
Seja um conjunto e seja uma sigma-álgebra sobre , que determina quais subconjuntos de são mensuráveis. Uma função de conjunto de no intervalo , isto é, nos números reais não negativos acrescidos do valor , é chamada de medida quando satisfaz as condições seguintes:
. Aditividade enumerável ou σ-aditividade: para toda coleção enumerável de conjuntos disjuntos dois a dois em ,
Se pelo menos um conjunto tiver medida finita, a condição decorre da aditividade enumerável aplicada à sequência :
Como o lado esquerdo é finito, isso exige .
Nas somas de valores de uma medida positiva, para todo . A expressão não é definida. Nos produtos de valores não negativos usados em teoria da medida, adota-se a convenção .
Se a condição de não negatividade for retirada, obtém-se a noção de medida com sinal. Ela permanece enumeravelmente aditiva e nula no conjunto vazio, mas pode assumir valores reais estendidos negativos. Não pode assumir e em conjuntos mensuráveis diferentes, pois isso tornaria certas somas indefinidas.
O par é chamado de espaço mensurável, e os membros de são chamados de conjuntos mensuráveis. A tripla é chamada de espaço de medida. Uma medida de probabilidade é uma medida cuja medida total é um, isto é, . Um espaço de probabilidade é um espaço de medida munido de uma medida de probabilidade.
Em espaços de medida que também são espaços topológicos, podem ser impostas condições de compatibilidade entre a medida e a topologia. As medidas de Radon permitem aproximar a medida de conjuntos por medidas de subconjuntos compactos. Em um espaço de Hausdorff localmente compacto, a integração em relação a uma medida de Radon define um funcional linear positivo no espaço das funções contínuas de suporte compacto. A representação de funcionais positivos por medidas é dada pelo teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani. A abordagem por funcionais lineares também é usada por Nicolas Bourbaki.
Exemplos miniatura|300px|A medida de Lebesgue é invariante por translação. Na figura, e .
Algumas medidas usadas em diferentes áreas são:
A medida de contagem, que atribui a um conjunto finito seu número de elementos e a um conjunto infinito o valor . A medida zero, definida por para todo conjunto mensurável . A medida de Lebesgue em , uma medida completa e invariante por translação definida na σ-álgebra dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue, que contém todos os intervalos, e normalizada por . Em , ela atribui a um hiper-retângulo seu volume usual, com : Uma medida de Lebesgue-Stieltjes pode ser construída a partir de uma função não decrescente e contínua à direita , de modo que Quando e , a medida obtida é uma medida de probabilidade, e é sua função de distribuição. O comprimento do arco de um intervalo no círculo unitário do plano euclidiano estende-se a uma medida na σ-álgebra gerada por esses arcos. Ela pode ser chamada de medida angular, pois o comprimento de um arco é igual ao ângulo que ele subtende, expresso em radianos. Essa medida é invariante por rotações que preservam o círculo. De modo semelhante, a medida de ângulo hiperbólico é invariante por aplicações de compressão. Uma medida de Haar à esquerda em um grupo topológico de Hausdorff localmente compacto é invariante pelas translações à esquerda do grupo e é única a menos de um fator multiplicativo positivo. A medida de Lebesgue é uma medida de Haar no grupo aditivo . O comprimento de arco é uma medida de Haar no círculo unitário, visto como subgrupo do grupo multiplicativo de . Em um grupo discreto, a medida de contagem é uma medida de Haar. Toda variedade riemanniana ou variedade pseudo-riemanniana tem uma medida canônica . Em coordenadas locais , sua densidade em relação à medida de Lebesgue é , de modo que A medida de Hausdorff permite medir conjuntos em dimensões inteiras ou não inteiras, em especial conjuntos fractais. Com a normalização usual, a medida de Hausdorff de dimensão em coincide com a medida de Lebesgue. Uma medida de probabilidade atribui o valor 1 ao espaço inteiro e assume seus valores no intervalo unitário . A distribuição de uma variável aleatória é uma medida de probabilidade no espaço de seus valores. Para exemplos, veja a lista de distribuições de probabilidade. A medida de Dirac , relacionada ao delta de Dirac, é dada por , em que é a função indicadora de . A medida de um conjunto é 1 quando ele contém o ponto e 0 caso contrário.
miniatura|300px|No lançamento independente de dois dados equilibrados, cada um dos 36 pares de resultados tem probabilidade . Um evento com cinco desses pares tem probabilidade .
Outras medidas que recebem nomes próprios são a medida de Borel, a medida ergódica, a medida gaussiana, a medida de Baire, a medida de Radon, a medida de Young e a medida de Loeb. A medida de Jordan, apesar do nome, é um conteúdo finitamente aditivo na família dos conjuntos mensuráveis à Jordan, que não é uma σ-álgebra.
Na física, uma medida pode representar a distribuição espacial de massa, como no estudo do potencial gravitacional, ou outra propriedade extensiva não negativa, seja ela uma quantidade conservada ou não. Valores negativos levam a medidas com sinal, discutidas na seção sobre generalizações.
A medida de Liouville é a medida definida pela forma de volume natural de uma variedade simplética. É usada na mecânica estatística clássica e na mecânica hamiltoniana. As medidas de Gibbs atribuem probabilidades aos estados de sistemas em mecânica estatística. A distribuição de Gibbs do conjunto canônico é um exemplo.
Propriedades básicas Seja uma medida. As propriedades desta seção seguem da definição.
Monotonicidade Se e são conjuntos mensuráveis e , então
Aditividade finita e diferença miniatura|350px|A medida da união de uma família finita de conjuntos disjuntos é a soma de suas medidas.
Para conjuntos mensuráveis dois a dois disjuntos ,
Se e , então
Para quaisquer conjuntos mensuráveis e , vale a identidade
Essa forma, sem subtrações, permanece válida quando alguma medida é infinita.
Medida de uniões e interseções enumeráveis Subaditividade enumerável Para qualquer sequência enumerável de conjuntos mensuráveis em , sem exigir que sejam disjuntos,
Continuidade por baixo Se são conjuntos mensuráveis crescentes, isto é, , então a união dos conjuntos é mensurável e
Continuidade por cima Se são conjuntos mensuráveis decrescentes, isto é, , então a interseção dos conjuntos é mensurável. Se pelo menos um dos tiver medida finita, então
Essa propriedade não vale sem a hipótese de que pelo menos um dos tenha medida finita. Para cada inteiro , tome . Todos esses conjuntos têm medida de Lebesgue infinita, mas sua interseção é vazia.
Construção e operações com medidas
Medida exterior e extensão de Carathéodory
miniatura|300px|Uma cobertura por quadrados de lado 0,25 fornece uma estimativa superior para a medida exterior da figura. A soma das áreas dos quadrados é 11,5.
Uma medida exterior em um conjunto é uma função
que satisfaz , é monótona e é enumeravelmente subaditiva. Assim, se , então , e para toda sequência de subconjuntos ,
Um conjunto é mensurável no sentido de Carathéodory quando, para todo ,
Os conjuntos que satisfazem essa condição formam uma σ-álgebra, e a restrição de a ela é uma medida completa.
O teorema da extensão de Carathéodory permite construir medidas a partir de uma pré-medida. Uma pré-medida não negativa e σ-aditiva definida em um anel de conjuntos pode ser estendida à σ-álgebra gerada por esse anel. Quando a pré-medida é sigma-finita, a extensão a essa σ-álgebra é única.
Combinações, restrições e medidas imagem miniatura|300px|A pré-imagem de um conjunto é formada pelos pontos que a função envia para ele. Na construção da medida imagem, mede-se essa pré-imagem no espaço de partida.
Se são medidas no mesmo espaço mensurável e são números reais não negativos, então
define outra medida, com a convenção . Em particular, somas e múltiplos não negativos de medidas são medidas. Combinações convexas de medidas de probabilidade também são medidas de probabilidade.
Se é um espaço de medida e , pode-se restringir a medida ao subespaço . A σ-álgebra induzida é
e a medida restrita atribui a cada membro dessa σ-álgebra sua medida original.
Se é uma função mensurável e é uma medida em , a medida imagem, também chamada de pushforward, de por é definida por
para cada conjunto mensurável . Distribuições de variáveis aleatórias são um caso dessa construção.
Medidas com densidade e medidas produto miniatura|260px|Na aproximação de Riemann, acima, divide-se o domínio em intervalos. Na aproximação de Lebesgue, abaixo, agrupam-se pontos conforme os valores da função e mede-se cada conjunto obtido.
Se é mensurável e é uma medida, então
define uma nova medida . Diz-se nesse caso que tem densidade em relação a . Se e são sigma-finitas e é absolutamente contínua em relação a , o teorema de Radon–Nikodym fornece uma função mensurável desse tipo, única a menos de igualdade -quase em todo lugar.
Se e são espaços de medida sigma-finitos, existe uma única medida produto na σ-álgebra produto que satisfaz
para e , com . A construção é usada nos teoremas de Fubini e Tonelli para integrais iteradas.
Outras propriedades
Completude
miniatura|350px|Etapas da construção do conjunto de Cantor. O conjunto-limite tem medida de Lebesgue zero. Pela completude da medida de Lebesgue, todos os seus subconjuntos também são mensuráveis e têm medida zero.
Um conjunto mensurável é chamado de conjunto nulo quando . Um subconjunto de um conjunto nulo é chamado de conjunto desprezível. Um conjunto desprezível não precisa ser mensurável, mas todo conjunto desprezível mensurável é nulo. Uma medida é chamada de completa quando todo conjunto desprezível é mensurável.
Uma medida pode ser estendida a uma medida completa considerando-se a σ-álgebra dos subconjuntos que diferem de um conjunto mensurável por um conjunto desprezível. Isso significa que a diferença simétrica está contida em algum conjunto mensurável de medida zero. Define-se então . Essa extensão é chamada de completamento da medida.
Regularidade e finitude local