Em topologia, um espaço topológico X diz-se grosseiro,Na literatura matemática em inglês, coarse. trivial A. Candel, Three dimes of Topology, Class Notes for Math 262, Winter 95-96, The University of Chicago, Chapter I. Topological Spaces [em linha] ou indiscreto Thayer Watkins, Foundations of Point Set Topology [em linha] se os seus únicos abertos são o conjunto vazio e o próprio X.
Um espaço topológico é um conjunto com uma estrutura a mais; esta estrutura é que permite definir, neste conjunto, o que são funções contínuas.Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology, Chapter 1: Basic Point-Set Topology, 1. The Concept of Topological Space [em linha]
Existem várias definições equivalentes do conceito de espaço topológico. A forma mais usual é definir esta estrutura sobre o conjunto X como um outro conjunto T, cujos elementos são subconjuntos de X, chamados de conjuntos abertos, e que satisfaz determinados axiomas, dentre os quais que e . A topologia grosseira é a "menor" topologia possível, ou seja, é aquela em que apenas X e são conjuntos abertos.Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology, Chapter 1: Basic Point-Set Topology, 2. Bases and subbases
Por ser cada topologia um conjunto, eles podem ser parcialmente ordenados por inclusão, ou seja, é possível definir quando uma topologia é mais grosseira que outra ou, inversamente, quando uma topologia é mais fina que outra. Uma topologia T é mais grosseira que T' (ou seja, T' é mais fina que T) quando Uma topologia mais grosseira tem menos conjuntos abertos do que uma topologia mais fina. A topologia grosseira tem este nome por ser mais grosseira que qualquer outra topologia. Analogamente, no outro extremo existe a topologia discreta, que é mais fina que todas outras.
Propriedades Se um espaço grosseiro tem pelo menos dois pontos distintos x e y, então estes pontos (e quaisquer outros dois pontos) são topologicamente indistinguíveis, portanto este espaço não é T0.Vipul Naik, Topology: The Journey into Separation Axioms, 2. What are Separation Axioms?, 2.3 Quasiorder by closure, Concept Testers [em linha]A demonstração é tão imediata que é deixada como exercício. Todo espaço grosseiro é conexo. Todo espaço grosseiro é compacto. Se X é um espaço grosseiro contendo ao menos dois pontos, e S é um subconjunto não vazio, então todo ponto p de X é um ponto limite de S.No texto de Watkins, a notação de S e X é invertida: S é o espaço todo e X o subconjunto de S. Toda função cujo contradomínio é um espaço grosseiro é uma função contínua.
Ver também Topologia discreta
Categoria:Topologia (matemática)