miniaturadaimagem|A área da região em azul converge para a constante de Euler-Mascheroni A constante de Euler-Mascheroni (também chamada de constante de Euler) é uma constante matemática, geralmente denotada pela letra grega gama () , com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural, denotado aqui por :
Aqui, representa a função piso.
O valor numérico da constante de Euler-Mascheroni, com 50 casas após a vírgula, é:
História
A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)
Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97).
Convergência
Como podemos escrever:
Como
Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:
Essa última expressão corresponde à
Que é a série telescópica Dessa forma,
Propriedades O número não foi provado que seja algébrico ou transcendente, e , nem sequer se conhece se é irracional ou não. A análise de frações contínuas revela que se é racional, seu denominador deve ser da ordem de . Devido ao fato de estar presente em um grande número de equações e relações, a racionalidade ou irracionalidade de está os problemas abertos mais importantes da Matemática.
A seguir estão apresentadas as relações mais importantes de com funções, séries e integrais.
Representação Original (Euler) Foi descoberta em 1734, por Euler, representando como uma série infinita da seguinte forma:
Relação com a Função Gama Se tomarmos a função gama, derivando-a e analisando-a em 1, obtemos -. O mesmo comportamento é observado se analisarmos a função digama em 1, ou seja:
também como o limite:
O limite relacionado com a função beta ( expressa em termos da função gama) é:
e como função beta:
Relação com a Função Zeta de Riemann pode ser expresso por uma soma infinita, cujos termos envolvem a Função Zeta de Riemann para números positivos da seguinte forma:
Outras séries relacionadas com a função zeta são:
O termo erro na última equação está decrescendo rapidamente em função de n . Como resultado, a fórmula se mostra bastante eficiente para cálculo de grande quantidade de dígitos da constante com extrema precisão.
Outro limite interessante relacionado com a Constante de Euler-Mascheroni e a função zeta é o limite assimétrico:
Representação com Integrais é igual ao valor de um número determinado de integrais definidas:
Dentre as integrais definidas nas quais aparece a constante estão:
Uma expressão em que se expressa como uma integral dupla, com sua série equivalente é:
Representação com Séries Além da série original de Euler, são conhecidas outras séries,em que se inclui:
encontrada por Nielsen em 1897.
Em 1912, Vacca encontrou a seguinte série relacionada a :
onde [ ] é a função piso e é o logaritmo de base 2 ;
Em 1926, Vacca encontrou outra série similar a anterior:
que também pode ser escrita como:
As últimas 2 séries podem ser obtidas através da manipulação da Integral de Catalão( ver Sondow e Zudilin)
Representação em forma de fração contínua A representação de em termos de fração contínua é:
mais precisamente:
.
Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150–161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 – 100 Derives γ as sums over Riemann zeta functions. (en inglés) (en inglés) Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 (en inglés) Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen. (alemán) Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220. (en inglés) ------ (2002) Gourdon, Xavier, and Sebah, P."Collection of formulas for Euler's constant, γ." (en inglés) ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin. (en inglés) ------ (2003) "An infinite product for eγ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ." (en inglés) ------ (2003a) ""Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344. (en inglés) ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65. (en inglés) ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π." (en inglés) ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.
Categoria:Leonhard Euler Euler-Mascheroni (Constante)