thumb|300px|Em recipientes contendo o mesmo líquido até a mesma altura, a pressão hidrostática sobre as áreas vermelhas situadas à mesma profundidade é igual, embora os recipientes contenham quantidades de líquido diferentes. Esse resultado constitui a forma clássica do paradoxo hidrostático
O paradoxo hidrostático é um resultado da hidrostática segundo o qual a pressão em um ponto de um fluido em repouso, submetido a um campo gravitacional uniforme, depende da profundidade do ponto, da densidade do fluido e da aceleração da gravidade, mas não da forma do recipiente nem da quantidade total de fluido nele contida.KONTOMARIS, Stylianos-Vasileios; MALAMOU, Anna. “A simple explanation of the classic hydrostatic paradox”. Physics Education, v. 51, n. 4, 045010, 2016. DOI: 10.1088/0031-9120/51/4/045010.
Consequentemente, recipientes de formas muito diferentes, mas com bases horizontais de mesma área e preenchidos com o mesmo líquido até a mesma altura, exercem a mesma pressão e a mesma força hidrostática sobre suas bases. Isso pode parecer contraditório porque as massas e os pesos dos líquidos contidos nesses recipientes podem ser muito diferentes.
A aparente contradição desaparece quando se consideram as forças exercidas pelas paredes laterais do recipiente. Em paredes inclinadas, a força de pressão possui uma componente vertical. Essa componente pode sustentar parte do peso do líquido ou, no caso oposto, exercer uma força adicional dirigida para baixo. Por isso, a força exercida pelo líquido sobre o fundo não precisa ser igual ao seu peso total.
O fenômeno está relacionado ao princípio dos vasos comunicantes, à Lei de Stevin, ao Princípio de Pascal e ao funcionamento de sistemas hidráulicos, embora esses conceitos não sejam exatamente equivalentes.
Formulação matemática Equilíbrio hidrostático Considere um fluido em repouso. Sobre um elemento infinitesimal de volume atuam as forças de pressão e as forças de volume, principalmente a gravidade.
A equação local de equilíbrio é
ou, equivalentemente,
em que:
é a pressão; é a densidade do fluido; é o vetor aceleração da gravidade; é o gradiente da pressão.
Escolhendo o eixo vertical positivo para cima e tomando
obtém-se
Essa equação mostra que a pressão diminui à medida que a coordenada vertical aumenta e, portanto, aumenta com a profundidade.
Para um líquido aproximadamente incompressível, de densidade constante, a integração entre a superfície livre, de coordenada e pressão , e um ponto de coordenada fornece
Definindo a profundidade
resulta
Se for utilizada a pressão manométrica, tomando a pressão na superfície como referência,
então
Essa relação é frequentemente denominada Lei de Stevin.
O aspecto central do paradoxo está nessa equação: nenhuma grandeza relacionada à forma do recipiente ou ao volume total do líquido aparece na expressão.
Caso de densidade variável A expressão pressupõe densidade aproximadamente constante. No caso mais geral, quando a densidade varia com a altura,
de modo que
Se a própria intensidade da gravidade variar significativamente com a posição,
Para recipientes comuns contendo líquidos, as variações de e são geralmente pequenas, justificando a aproximação .
Força exercida sobre o fundo A pressão é uma força por unidade de área. Sobre um elemento de área , a magnitude da força de pressão é
A força total sobre uma superfície é obtida por integração:
Se o fundo do recipiente for horizontal, toda a sua área estiver à mesma profundidade e for utilizada a pressão manométrica, então é constante sobre o fundo. Portanto,
e assim
em que é a área da base.
Essa expressão pode ser escrita como
Logo, a força sobre o fundo é numericamente igual ao peso de um volume imaginário de líquido correspondente a um prisma vertical de área da base e altura .
O volume real do líquido, entretanto, não precisa ser .
Comparação entre a força no fundo e o peso do líquido O peso total do líquido é
e, como
tem-se
em que é o volume efetivamente ocupado pelo líquido.
Já a força hidrostática sobre uma base horizontal é
Portanto,
Essa equação resume matematicamente o paradoxo hidrostático.
Há três casos principais:
Se , então
Isso ocorre, por exemplo, em um recipiente prismático de paredes verticais.
Se , então
Isso ocorre em um recipiente que se alarga à medida que se sobe a partir da base. Há mais líquido do que caberia no prisma imaginário .
Se , então
Isso ocorre em um recipiente que se estreita à medida que se sobe. A força sobre a base pode, portanto, ser maior que o peso total do líquido.
Não existe violação das condições de equilíbrio em nenhum desses casos. A diferença é compensada pelas componentes verticais das forças exercidas pelas paredes.
Resolução do paradoxo pelas forças nas paredes thumb|300px|Representação da resolução do paradoxo por meio das forças de pressão e das paredes do recipiente
A pressão de um fluido em repouso atua perpendicularmente a qualquer superfície em contato com o fluido.
Em uma parede vertical, a força normal à parede é horizontal. Portanto, ela não possui componente vertical.
Em uma parede inclinada, entretanto, a força normal possui componentes horizontal e vertical.
Considere o líquido isolado como um corpo. Seja:
a força vertical exercida pelo fundo sobre o líquido, dirigida para cima; a componente vertical resultante das forças exercidas pelas paredes laterais sobre o líquido; o peso do líquido.
A condição de equilíbrio na direção vertical é
Logo,
Essa relação explica diretamente os três casos.
Recipiente de paredes verticais Para paredes verticais,
Assim,
Recipiente que se alarga para cima Quando as paredes se afastam do eixo do recipiente à medida que a altura aumenta, a reação das paredes sobre o líquido possui uma componente vertical dirigida para cima.
Portanto,
e
Nesse caso, parte do peso do líquido é sustentada pelas paredes.
Recipiente que se estreita para cima Quando as paredes se aproximam do eixo do recipiente à medida que a altura aumenta, a reação das paredes sobre o líquido possui uma componente vertical dirigida para baixo.
Nesse caso,
e, portanto,
Assim, as paredes acrescentam uma componente vertical descendente à força que precisa ser equilibrada pelo fundo.
Esse é o motivo pelo qual uma quantidade relativamente pequena de líquido pode exercer sobre uma base uma força superior ao próprio peso do líquido.
Formulação integral O mesmo resultado pode ser escrito de maneira geral para um recipiente de forma arbitrária.
Se representa toda a superfície que limita o líquido e é o vetor normal unitário dirigido para fora do volume líquido, a força de pressão exercida sobre o fluido é
A força gravitacional é
Em equilíbrio,
Pelo teorema da divergência, a integral de superfície pode ser relacionada ao gradiente da pressão:
Como no equilíbrio hidrostático
o balanço é automaticamente satisfeito.
Essa formulação mostra que o paradoxo não depende de uma geometria específica: ele é consequência geral das equações de equilíbrio de um fluido.
Pressão absoluta e pressão manométrica Quando a superfície livre do líquido está exposta à atmosfera,
A pressão absoluta no fundo inclui, portanto, a pressão atmosférica.
Entretanto, quando a superfície externa do recipiente também está submetida à mesma pressão atmosférica, as contribuições atmosféricas atuam dos dois lados das paredes e podem ser eliminadas do balanço usando-se a pressão manométrica
Nesse caso,
Por isso, as discussões elementares do paradoxo hidrostático geralmente omitem explicitamente a pressão atmosférica.
Exemplo numérico Um exemplo particularmente marcante consiste em um reservatório de grande área ligado a um tubo vertical muito estreito.
Considere água com
e
Suponha um reservatório de área
e altura
ligado a um tubo de área
e altura
O volume total de água é
Portanto,
O peso da água é
ou
A profundidade do fundo abaixo da superfície livre, porém, é
A pressão manométrica no fundo é
Como a base possui área de ,
A força exercida sobre o fundo é, portanto, aproximadamente
enquanto o peso da água é de apenas aproximadamente
A força no fundo é quase vinte vezes maior que o peso da água. A diferença é equilibrada pelas forças exercidas sobre as demais partes do recipiente.
Esse tipo de configuração está associado ao chamado experimento do barril atribuído a Blaise Pascal, no qual uma coluna de água relativamente estreita pode gerar uma grande pressão em um recipiente de área muito maior.
Vasos comunicantes thumb|300px|Em pontos situados na mesma altura de um mesmo líquido em equilíbrio, a pressão é a mesma
thumb|300px|Vasos comunicantes de formas diferentes apresentam o mesmo nível de equilíbrio quando contêm o mesmo líquido e suas superfícies estão submetidas à mesma pressão externa
O paradoxo hidrostático está diretamente relacionado ao princípio dos vasos comunicantes.
Considere duas regiões de um mesmo líquido conectadas entre si. Em equilíbrio, a pressão em dois pontos pertencentes ao mesmo líquido e situados na mesma altura deve ser igual. Caso contrário, haveria uma diferença de pressão capaz de produzir escoamento.
Para duas superfícies livres submetidas à mesma pressão externa ,
e
Como os pontos de conexão precisam apresentar a mesma pressão em equilíbrio,
Assim,
e portanto
Desse modo, a forma ou a largura de cada ramo não altera a altura final da superfície livre, desde que sejam desprezados efeitos capilares.
Se houver líquidos de densidades diferentes em equilíbrio, a igualdade das pressões permite obter relações como
ou
Essa relação é utilizada, por exemplo, em manômetros de coluna líquida.
Explicação construtiva Uma forma intuitiva de visualizar o fenômeno consiste em partir de uma única massa de água e imaginar a introdução gradual de paredes dentro dela.
Se o processo for realizado sem produzir movimento significativo do líquido, a introdução das paredes não pode provocar por si só uma alteração descontínua da pressão.
Quando as paredes se tornam rígidas, elas passam a transmitir as forças necessárias para manter o equilíbrio. A distribuição de pressão continua sendo determinada pela profundidade, mas a forma como o peso é dividido entre fundo e paredes passa a depender da geometria do recipiente.
Relação com o princípio de Pascal O Princípio de Pascal estabelece que uma variação de pressão aplicada a um fluido confinado em equilíbrio é transmitida pelo fluido.
Em uma prensa hidráulica ideal com dois pistões situados aproximadamente à mesma altura,
Como
e
obtém-se
Portanto,
Uma pequena força aplicada sobre um pistão de pequena área pode assim equilibrar uma força muito maior aplicada sobre um pistão de grande área.
Esse ganho de força não corresponde a um ganho de energia. Para um líquido ideal incompressível, o volume deslocado pelos pistões deve ser o mesmo:
Logo,
Combinando essa expressão com a relação entre as forças,
Assim, no caso ideal, o trabalho realizado na entrada é igual ao trabalho obtido na saída. O aumento da força é acompanhado por uma redução proporcional do deslocamento.
Uma publicação da Scientific American de 1869 discutiu o “paradoxo hidrostático” justamente em conexão com prensas hidráulicas e com o princípio então denominado de velocidades virtuais.“The Hydrostatic Paradox”. Scientific American, v. 21, n. 16, p. 249, 16 out. 1869. DOI: 10.1038/scientificamerican10161869-249.
A prensa hidráulica e o paradoxo hidrostático são, contudo, resultados relacionados, mas distintos. O paradoxo clássico diz respeito principalmente à independência da pressão em relação à forma do recipiente; a multiplicação de força de uma prensa decorre da transmissão da pressão e da diferença entre as áreas dos pistões.
História thumb|300px|Representação histórica do paradoxo hidrostático associada ao trabalho de Simon Stevin.