Em matemática, em particular teoria da homotopia, um mapeamento contínuo entre espaços topológicos

é uma cofibração se tem a propriedade de extensão de homotopia com respeito a todos os espaços topológicos . Isto é, é uma cofibração se para cada espaço topológico , e para quaisquer mapas contínuos e com , para qualquer homotopia de para , existe um mapa contínuo e uma homotopia de para tal que para todos e . (Aqui, denota o intervalo unitário .)

Esta definição é formalmente dual à de uma fibração, que é exigida para satisfazer a propriedade de levantamento de homotopia com respeito a todos os espaços; esta é uma instância da dualidade de Eckmann–Hilton mais ampla em topologia.

Cofibrações são um conceito fundamental da teoria da homotopia. Quillen propôs a noção de categoria de modelos como uma estrutura formal para fazer teoria da homotopia em categorias mais gerais; uma categoria de modelos é dotada de três classes distinguidas de morfismos chamadas fibrações, cofibrações e equivalências fracas que satisfazem certos axiomas de levantamento e fatoração.

Definição

Teoria da homotopia No que se segue, seja o intervalo unitário.

Um mapa de espaços topológicos é chamado de cofibração se para qualquer mapa tal que exista uma extensão para (significando: existe um mapa tal que ), podemos estender uma homotopia de mapas para uma homotopia de mapas , onde

Podemos codificar esta condição no seguinte diagrama comutativo

onde é o espaço de caminhos de equipado com a topologia compacto-aberta.

Para a noção de cofibração em uma categoria de modelos, veja categoria de modelos.

Exemplos

Em topologia Topologistas há muito estudam noções de "boa imersão de subespaços", muitas das quais implicam que o mapa é uma cofibração, ou a recíproca, ou têm propriedades formais semelhantes com relação à homologia. Em 1937, Borsuk provou que se é um espaço binormal ( é normal, e seu produto com o intervalo unitário é normal) então todo subespaço fechado de tem a propriedade de extensão de homotopia com respeito a qualquer retrato de vizinhança absoluta. Da mesma forma, se é um subespaço fechado de e a inclusão de subespaço é um retrato de vizinhança absoluta, então a inclusão de em é uma cofibração.Edwin Spanier, Algebraic Topology, 1966, p. 57.Garth Warner, Topics in Topology and Homotopy Theory, seção 6.O livro introdutório de Hatcher, Algebraic Topology, usa uma noção técnica de par bom que tem a mesma sequência exata longa em homologia singular associada a uma cofibração, mas não é equivalente. A noção de cofibração distingue-se destas porque sua definição homotópico-teórica é mais passível de análise formal e generalização.

Se é um mapa contínuo entre espaços topológicos, existe um espaço topológico associado chamado de cilindro de aplicação de . Há uma imersão de subespaço canônica e um mapa de projeção tais que como representado no diagrama comutativo abaixo. Além disso, é uma cofibração e é uma equivalência homotópica. Este resultado pode ser resumido dizendo que "todo mapa é equivalente na categoria homotópica a uma cofibração."

Arne Strøm provou um fortalecimento deste resultado, que todo mapa se fatora como a composição de uma cofibração e uma equivalência homotópica que também é uma fibração.Arne Strøm, The homotopy category is a homotopy category

Um espaço topológico com um ponto base distinguido é dito bem apontado se o mapa de inclusão é uma cofibração.

O mapa de inclusão da esfera fronteira de um disco sólido é uma cofibração para todo .

Um fato frequentemente usado é que uma inclusão celular é uma cofibração (então, por exemplo, se é um par CW, então é uma cofibração). Isso segue do fato anterior e do fato de que cofibrações são estáveis sob pushout, porque pushouts são os mapas de colagem para o esqueleto .

Em complexos de cadeias Seja uma categoria abeliana com projetivos suficientes. Se considerarmos a categoria de complexos de cadeias que são em graus , então há uma estrutura de categoria de modelos onde as equivalências fracas são os quase-isomorfismos, as fibrações são os epimorfismos, e as cofibrações são mapas

que são mônicos grau a grau e o complexo cokernel é um complexo de objetos projetivos em . Segue-se que os objetos cofibrantes são os complexos cujos objetos são todos projetivos.

Conjuntos simpliciais Na categoria de conjuntos simpliciais há uma estrutura de categoria de modelos onde as fibrações são precisamente as fibrações de Kan, cofibrações são todos os mapas injetivos, e equivalências fracas são mapas simpliciais que se tornam equivalências homotópicas após aplicar o funtor de realização geométrica.

Propriedades Para espaços de Hausdorff, toda cofibração é uma inclusão fechada (injetiva com imagem fechada); o resultado também se generaliza para espaços de Hausdorff fracos. O pushout de uma cofibração é uma cofibração. Isto é, se é qualquer mapa (contínuo) (entre espaços compactamente gerados), e é uma cofibração, então o mapa induzido é uma cofibração. O cilindro de aplicação pode ser entendido como o pushout de e a imersão (numa extremidade do intervalo unitário) . Isto é, o cilindro de aplicação pode ser definido como . Pela propriedade universal do pushout, é uma cofibração precisamente quando um cilindro de aplicação pode ser construído para todo espaço X. Há uma cofibração (A, X), se e somente se há uma retração de para , uma vez que esta é o pushout e, portanto, induz mapas para todo espaço sensível no diagrama. Equivalências semelhantes podem ser enunciadas para pares de retração por deformação, e para pares de retração por deformação de vizinhança.

Construções com cofibrações

Substituição cofibrante Observe que em uma categoria de modelos , se não é uma cofibração, então o cilindro de aplicação forma uma substituição cofibrante. De fato, se trabalharmos apenas na categoria de espaços topológicos, a substituição cofibrante para qualquer mapa de um ponto para um espaço forma uma substituição cofibrante.

Cofibra Para uma cofibração definimos a cofibra como o espaço quociente induzido . Em geral, para , a cofibra é definida como o espaço quociente

que é o cone de aplicação de . Homotopicamente, a cofibra atua como um cokernel homotópico do mapa . De fato, para espaços topológicos apontados, o colimite homotópico de

De fato, a sequência de mapas vem equipada com a sequência cofibra que atua como um triângulo distinto em categorias trianguladas.

Ver também

Fibração Colimite homotópico Fibra homotópica

Referências

Bibliografia Peter May, "A Concise Course in Algebraic Topology": o capítulo 6 define e discute cofibrações, e elas são usadas em todo o texto O capítulo 7 tem muitos resultados não encontrados em outros lugares.

Categoria:Álgebra homotópica Categoria:Teoria da homotopia