Em matemática, o formalismo do resolvente é uma técnica para aplicar conceitos da análise complexa ao estudo do espectro de operadores em espaços de Banach e espaços mais gerais. A justificação formal para as manipulações pode ser encontrada no quadro do Cálculo funcional holomórfico.
O resolvente captura as propriedades espectrais de um operador na estrutura analítica do funcional. Dado um operador , o resolvente pode ser definido como
Entre outros usos, o resolvente pode ser usado para resolver equações integrais de Fredholm não homogêneas; uma abordagem comumente usada é uma solução em série, a série de Liouville–Neumann.
O resolvente de pode ser usado para obter diretamente informações sobre a decomposição espectral de . Por exemplo, suponha que é um autovalor isolado no espectro de . Isto é, suponha que existe uma curva fechada simples no plano complexo que separa do resto do espectro de . Então o resíduo
define um operador de projeção sobre o -autoespaço de . O teorema de Hille–Yosida relaciona o resolvente através de uma transformada de Laplace a uma integral sobre o grupo uniparamétrico de transformações gerado por .Taylor, seção 9 do Apêndice A. Assim, por exemplo, se é uma matriz anti-hermitiana, então é um grupo uniparamétrico de operadores unitários. Sempre que , o resolvente de A em z pode ser expresso como a transformada de Laplace
onde a integral é tomada ao longo do raio .Hille e Phillips, Teorema 11.4.1, p. 341
História O primeiro uso importante do operador resolvente como uma série em (cf. série de Liouville–Neumann) foi feito por Ivar Fredholm, em um artigo marcante de 1903 na Acta Mathematica que ajudou a estabelecer a moderna teoria dos operadores.
O nome resolvente foi dado por David Hilbert.
Identidade do resolvente Para todos em , o conjunto resolvente de um operador , temos que a primeira identidade do resolvente (também chamada de identidade de Hilbert) é válida:Dunford e Schwartz, Vol I, Lema 6, p. 568.
(Note que Dunford e Schwartz, citados, definem o resolvente como , de modo que a fórmula acima difere em sinal da deles.)
A segunda identidade do resolvente é uma generalização da primeira identidade do resolvente, acima, útil para comparar os resolventes de dois operadores distintos. Dados os operadores e , ambos definidos no mesmo espaço linear, e em , a seguinte identidade é válida:Hille e Phillips, Teorema 4.8.2, p. 126
Uma prova de uma linha é a seguinte:
Resolvente compacto Ao estudar um operador fechado não limitado : → em um espaço de Hilbert , se existe tal que é um operador compacto, dizemos que tem resolvente compacto. O espectro de tal é um subconjunto discreto de . Se, além disso, é auto-adjunto, então e existe uma base ortonormal de autovetores de com autovalores respectivamente. Além disso, não tem ponto de acumulação finito.Taylor, p. 515.
Ver também Conjunto resolvente Teorema de Stone sobre grupos uniparamétricos unitários Cálculo funcional holomorfo Teoria espectral Operador compacto Transformada de Laplace Teoria de Fredholm Série de Liouville–Neumann Decomposição do espectro (análise funcional) Princípio de absorção limite
Referências
Bibliografia
Categoria:Teoria de Fredholm Categoria:Formalismo (dedutivo) Categoria:Física matemática