Na física, a relação energia-momento, ou relação de dispersão relativística, é a equação relativística que relaciona a energia total (também chamada de energia relativística) à massa invariante (que também é chamada de massa de repouso) e ao momento. É a extensão da equivalência massa-energia para corpos ou sistemas com momento não nulo.
Pode ser formulada como:
Esta equação é válida para um corpo ou sistema, como uma ou mais partículas, com energia total , massa invariante e momento de magnitude ; a constante é a velocidade da luz. Ela assume o caso da relatividade restrita de um espaço-tempo plano e que as partículas são livres. A energia total é a soma da energia de repouso e da energia cinética relativística:
A massa invariante é a massa medida num referencial do centro de momento. Para corpos ou sistemas com momento nulo, a equação simplifica-se para a equação de massa-energia , onde a energia total, neste caso, é igual à energia de repouso.
O modelo do mar de Dirac, que foi utilizado para prever a existência da antimatéria, está intimamente relacionado com a relação energia-momento.
Conexão com E = mc² thumb|Triângulo de Einstein
A relação energia-momento é consistente com a familiar relação massa-energia em ambas as suas interpretações: relaciona a energia total à massa relativística (total) (alternativamente denotada ou ), enquanto relaciona a energia de repouso à massa de repouso (invariante) .
Ao contrário de qualquer uma dessas equações, a equação energia-momento (1) relaciona a energia total à massa de repouso . Todas as três equações são verdadeiras simultaneamente.
Casos particulares
Se o corpo é uma partícula sem massa (), então a equação (1) reduz-se a . Para os fótons, esta é a relação, descoberta no eletromagnetismo clássico do século XIX, entre o momento radiante (que causa a pressão de radiação) e a energia radiante. Se a velocidade do corpo é muito menor que , então a equação (1) reduz-se a ; ou seja, a energia total do corpo é simplesmente a sua energia cinética clássica () mais a sua energia de repouso. Se o corpo está em repouso (), isto é, no seu referencial do centro de momento (), temos e ; assim, a relação energia-momento e ambas as formas da relação massa-energia (mencionadas acima) tornam-se a mesma coisa.
Uma forma mais geral da relação (1) é válida para a relatividade geral.
A massa invariante (ou massa de repouso) é um invariante para todos os referenciais (daí o nome), não apenas em referenciais inerciais num espaço-tempo plano, mas também em referenciais acelerados viajando através do espaço-tempo curvo (ver abaixo). No entanto, a energia total da partícula e o seu momento relativístico dependem do referencial; o movimento relativo entre dois referenciais faz com que os observadores nesses referenciais meçam valores diferentes da energia e do momento da partícula; um referencial mede e , enquanto o outro referencial mede e , onde e , a não ser que não haja movimento relativo entre os observadores, caso em que cada observador mede a mesma energia e momentos. Ainda assim, no espaço-tempo plano, temos:
As grandezas , , e estão todas relacionadas por uma transformação de Lorentz. A relação permite contornar as transformações de Lorentz quando se determina apenas as magnitudes da energia e dos momentos, igualando as relações nos diferentes referenciais. Novamente, no espaço-tempo plano, isto traduz-se em:
Uma vez que não muda de referencial para referencial, a relação energia-momento é usada em cálculos da mecânica relativística e da física de partículas, onde a energia e o momento são dados no referencial de repouso de uma partícula (ou seja, e como um observador movendo-se com a partícula concluiria que fossem) e medidos no referencial do laboratório (isto é, e conforme determinados por físicos de partículas em um laboratório, não se movendo com as partículas).
Na mecânica quântica relativística, é a base para a construção de equações de onda relativísticas, pois se a equação de onda relativística que descreve a partícula é consistente com esta equação – ela é consistente com a mecânica relativística e é invariante de Lorentz. Na teoria quântica de campos relativística, ela é aplicável a todas as partículas e campos.
Origens e derivação da equação
A relação energia-momento remonta ao artigo de Max Planck publicado em 1906. Foi utilizada por Walter Gordon em 1926 e depois por Paul Dirac em 1928 sob a forma , onde é a quantidade de energia potencial.
A equação pode ser derivada de várias maneiras; duas das mais simples incluem: A partir da dinâmica relativística de uma partícula com massa. Ao avaliar a norma do quadrimomento do sistema. Este método aplica-se tanto a partículas com massa quanto sem massa, e pode ser estendido a sistemas de muitas partículas com relativo pouco esforço (ver #Sistemas de muitas partículas abaixo).
Abordagem heurística para partículas com massa
Para um objeto com massa movendo-se com uma tri-velocidade de magnitude no referencial do laboratório:é a energia total do objeto em movimento no referencial do laboratório,é o momento relativístico tridimensional do objeto no referencial do laboratório com magnitude . A energia relativística e o momento incluem o Fator de Lorentz definido por:
Alguns autores utilizam a massa relativística definida por:embora a massa de repouso tenha um significado mais fundamental e será utilizada prioritariamente em relação à massa relativística neste artigo.
Elevando o tri-momento ao quadrado, obtemos:em seguida, resolvendo para e substituindo no fator de Lorentz, obtém-se a sua forma alternativa em termos do tri-momento e da massa, em vez da tri-velocidade:
Inserindo esta forma do fator de Lorentz na equação da energia, resulta em:seguido de mais rearranjos, o que nos leva à equação (1). A eliminação do fator de Lorentz também elimina a dependência implícita da velocidade da partícula em (1), bem como quaisquer inferências à "massa relativística" de uma partícula com massa. Esta abordagem não é geral, pois partículas sem massa não são consideradas. Ingênuamente, definir significaria que e , e nenhuma relação energia-momento poderia ser derivada, o que não é correto.
Norma do quadrimomento
250px|right|thumb|A energia e o momento de um objeto medidos em dois referenciais inerciais no espaço energia-momento – o referencial amarelo mede e enquanto o referencial azul mede e . A seta verde é o quadrimomento de um objeto com comprimento proporcional à sua massa de repouso . O referencial verde é o referencial do centro de momento do objeto, com energia igual à energia de repouso. As hipérboles mostram que a transformação de Lorentz de um referencial para outro é uma rotação hiperbólica, e e são as rapidezes dos referenciais azul e verde, respectivamente.
Relatividade restrita
No espaço de Minkowski, a energia (dividida por ) e o momento são duas componentes de um quadrivetor de Minkowski, nomeadamente o quadrimomento;(estas são as componentes contravariantes).
O produto interno de Minkowski deste vetor consigo mesmo fornece o quadrado da norma deste vetor, que é proporcional ao quadrado da massa de repouso do corpo:uma grandeza invariante de Lorentz, e portanto independente do referencial. Usando a métrica de Minkowski com assinatura métrica , o produto interno ée assim
ou, em unidades naturais onde ,
Relatividade geral
Na relatividade geral, o quadrimomento é um quadrivetor definido em um referencial de coordenadas locais, embora por definição o produto interno seja semelhante ao da relatividade restrita,
no qual a métrica de Minkowski é substituída pelo campo tensorial métrico :
resolvido a partir das Equações de campo de Einstein. Então:
Unidades de energia, massa e momento
Em unidades naturais onde , a equação energia-momento reduz-se a
Na física de partículas, a energia é tipicamente dada na unidade elétron-volt (eV), o momento na unidade eV· e a massa na unidade eV·.
A energia também pode, teoricamente, ser expressa em unidades de gramas, embora na prática requeira uma grande quantidade de energia para ser equivalente a massas nessa faixa. Por exemplo, a primeira bomba atômica liberou cerca de 1 grama de calor, e as maiores bombas termonucleares geraram um quilograma ou mais de calor. As energias das bombas termonucleares são geralmente dadas em dezenas de quilotoneladas e megatons, referindo-se à energia liberada pela explosão daquela quantidade de trinitrotolueno (TNT).
Casos especiais
Referencial do centro de momento (uma partícula)
Para um corpo no seu referencial de repouso, o momento é zero, então a equação simplifica-se para
onde é a massa de repouso do corpo.
Partículas sem massa
Se o objeto não tiver massa, como é o caso de um fóton, então a equação reduz-se a
Esta é uma simplificação útil. Ela pode ser reescrita de outras maneiras usando as relações de de Broglie:
se o comprimento de onda ou o número de onda forem fornecidos.
Princípio da correspondência
Reescrevendo a relação para partículas com massa como:
e expandindo em uma série de potências pelo teorema binomial (ou uma série de Taylor) em torno de :
no limite em que , temos , então o momento tem a forma clássica ; a seguir, até à primeira ordem em (ou seja, reter o termo para e negligenciar todos os termos para ) temos
ou
onde o segundo termo é a energia cinética clássica, e o primeiro é a energia de repouso da partícula. Esta aproximação não é válida para partículas sem massa, uma vez que a expansão exigiu a divisão do momento pela massa. Curiosamente, não existem partículas sem massa na mecânica clássica.
Sistemas de muitas partículas
Adição de quadrimomentos
No caso de muitas partículas com momentos relativísticos e energia , onde (até o número total de partículas) simplesmente rotula as partículas, conforme medido em um determinado referencial, os quadrimomentos neste referencial podem ser somados;
e depois tirando a norma, para obter a relação para um sistema de muitas partículas:
onde é a massa invariante do sistema como um todo, e não é igual à soma das massas de repouso das partículas a menos que todas as partículas estejam em repouso (ver Massa na relatividade especial#A massa de sistemas compostos para mais detalhes). Substituindo e rearranjando, obtemos a generalização da equação (1);
As energias e os momentos na equação são todos dependentes do referencial, enquanto é independente do referencial.
Referencial do centro de momento
No referencial do centro de momento (referencial COM), por definição temos:
com a implicação a partir da equação (2) de que a massa invariante também é a massa-energia do centro de momento (COM), a menos do fator :
e isso é verdade para todos os referenciais, já que é independente do referencial. As energias são as medidas no referencial do centro de momento, e não no referencial do laboratório. Contudo, em muitos sistemas ligados familiares, o referencial do laboratório é o referencial COM, pois o próprio sistema não está em movimento e, portanto, todos os momentos se cancelam resultando em zero. Um exemplo seria um objeto simples (onde os momentos vibracionais dos átomos se cancelam) ou um recipiente de gás onde o recipiente está em repouso. Nesses sistemas, todas as energias do sistema são medidas como massa. Por exemplo, o calor num objeto numa balança, ou o total das energias cinéticas num recipiente de gás na balança, são todos medidos pela balança como sendo a massa do sistema.
Massas de repouso e a massa invariante
Tanto as energias quanto os momentos das partículas, medidos num dado referencial, podem ser eliminados utilizando a relação energia-momento para cada partícula:
permitindo que seja expressa em termos das energias e massas de repouso, ou momentos e massas de repouso. Num determinado referencial, os quadrados das somas podem ser reescritos como somas de quadrados (e produtos):