right|thumb|O espaço anti-de Sitter tridimensional é como uma pilha de discos hiperbólicos, cada um representando o estado do universo em um determinado momento.
Na matemática e na física, o espaço anti-de Sitter n-dimensional () é um espaço simétrico maximamente simétrico com curvatura escalar negativa constante. É o análogo lorentziano do espaço hiperbólico. O espaço anti-de Sitter e o espaço de de Sitter foram nomeados em homenagem a Willem de Sitter (6 de maio de 1872 – 20 de novembro de 1934), professor de astronomia na Universidade de Leiden e diretor do Observatório de Leiden. Willem de Sitter e Albert Einstein trabalharam juntos de perto em Leiden na década de 1920 na estrutura do espaço-tempo do universo. Paul Dirac foi a primeira pessoa a explorar rigorosamente o espaço anti-de Sitter, fazendo-o em 1963.
As variedades de curvatura constante são mais familiares no caso de duas dimensões, onde o plano elíptico ou a superfície de uma esfera é uma superfície de curvatura positiva constante, um plano plano (isto é, euclidiano) é uma superfície de curvatura zero constante, e um plano hiperbólico é uma superfície de curvatura negativa constante.
A teoria da relatividade geral de Einstein coloca o espaço e o tempo em pé de igualdade, de modo que se considera a geometria de um espaço-tempo unificado em vez de considerar o espaço e o tempo separadamente. Os casos de espaço-tempo de curvatura constante são o espaço de de Sitter (positiva), o espaço de Minkowski (zero) e o espaço anti-de Sitter (negativa). Como tais, eles são soluções exatas das Equações de campo de Einstein para um universo vazio com uma constante cosmológica positiva, zero ou negativa, respectively.
O espaço anti-de Sitter generaliza-se para qualquer número de dimensões espaciais. Em dimensões superiores, é mais conhecido por seu papel na Correspondência AdS/CFT, que sugere ser possível descrever uma força na mecânica quântica (como o eletromagnetismo, a força fraca ou a força forte) em um certo número de dimensões (por exemplo, quatro) com uma teoria das cordas onde as cordas existem em um espaço anti-de Sitter, com uma dimensão adicional (não compacta).
Explicação não técnica
Termos técnicos traduzidos Uma variedade lorentziana maximamente simétrica é um espaço-tempo no qual nenhum ponto no espaço e no tempo pode ser distinguido de forma alguma de outro e, sendo lorentziana, a única maneira pela qual uma direção (ou tangente a um caminho em um ponto do espaço-tempo) pode ser distinguida é se ela é do tipo espaço (spacelike), tipo luz (lightlike) ou tipo tempo (timelike). O espaço da relatividade especial (espaço de Minkowski) é um exemplo.
Uma curvatura escalar constante significa uma curvatura do espaço-tempo semelhante à gravidade da relatividade geral que possui uma curvatura descrita por um único número que é o mesmo em todos os lugares no espaço-tempo na ausência de matéria ou energia.
Curvatura negativa significa curvatura hiperbólica, como uma superfície de sela ou a superfície da Trompeta de Gabriel, semelhante à campana de um trompete.
O espaço-tempo na relatividade geral A relatividade geral é uma teoria sobre a natureza do tempo, do espaço e da gravidade na qual a gravidade é uma curvatura do espaço e do tempo que resulta da presença de matéria ou energia. Energia e massa são equivalentes (como expresso na equação ). Os valores de espaço e tempo podem ser relacionados, respectivamente, a unidades de tempo e espaço multiplicando ou dividindo o valor pela velocidade da luz (por exemplo, segundos vezes metros por segundo igual a metros).
Uma analogia comum envolve a maneira como uma depressão em uma folha de borracha esticada, causada por um objeto pesado colocado sobre ela, influencia o caminho percorrido por pequenos objetos que rolam por perto, fazendo com que eles se desviem para dentro em relação ao caminho que teriam seguido se o objeto pesado estivesse ausente. É claro que, na relatividade geral, tanto os objetos pequenos quanto os grandes influenciam mutuamente a curvatura do espaço-tempo.
A força de atração da gravidade criada pela matéria deve-se a uma curvatura negativa do espaço-tempo, representada na analogia da folha de borracha pela depressão curvada negativamente (semelhante à campana de um trompete) na folha.
Uma característica fundamental da relatividade geral é que ela descreve a gravidade não como uma força convencional como o eletromagnetismo, mas como uma mudança na geometria do espaço-tempo que resulta da presença de matéria ou energia.
A analogia usada acima descreve a curvatura de um espaço bidimensional causada pela gravidade na relatividade geral em um superespaço tridimensional no qual a terceira dimensão corresponde ao efeito da gravidade. Uma forma geométrica de pensar sobre a relatividade geral descreve os efeitos da gravidade no espaço quadridimensional do mundo real geometricamente projetando esse espaço em um superespaço pentadimensional, com a quinta dimensão correspondendo à curvatura no espaço-tempo que é produzida pela gravidade e efeitos semelhantes à gravidade na relatividade geral.
Como resultado, na relatividade geral, a familiar equação newtoniana da gravidade (ou seja, a atração gravitacional entre dois objetos é igual à constante gravitacional vezes o produto de suas massas dividido pelo quadrado da distância entre eles) é apenas uma aproximação dos efeitos da gravidade vistos na relatividade geral. No entanto, essa aproximação torna-se imprecisa em situações físicas extremas, como velocidades relativísticas (a luz, em particular) ou massas muito grandes e densas.
Na relatividade geral, a gravidade é causada pelo espaço-tempo estar curvado ("distorcido"). É um equívoco comum atribuir a gravidade ao espaço curvado; nem o espaço nem o tempo têm um significado absoluto na relatividade. No entanto, para descrever a gravidade fraca, como na Terra, é suficiente considerar a distorção do tempo em um sistema de coordenadas particular. Achamos a gravidade na Terra muito perceptível, enquanto a distorção do tempo relativística requer instrumentos de precisão para ser detectada. A razão pela qual não nos tornamos cientes dos efeitos relativísticos em nossa vida cotidiana é o enorme valor da velocidade da luz (aproximadamente ), o que nos faz perceber o espaço e o tempo como entidades diferentes.
O espaço de de Sitter na relatividade geral O espaço de de Sitter é uma solução para a relatividade geral na qual o espaço-tempo (o espaço dS) é positivamente curvado na ausência de matéria ou energia. Isso é análogo à relação entre a geometria euclidiana e a geometria não euclidiana.
Uma curvatura intrínseca do espaço-tempo na ausência de matéria ou energia é modelada pela constante cosmológica na relatividade geral. Isso corresponde ao vácuo possuir uma densidade de energia e pressão. Esta geometria do espaço-tempo resulta em geodésicas do tipo tempo momentaneamente paralelas divergindo, com seções do tipo espaço possuindo curvatura positiva.
Distinção entre o espaço anti-de Sitter e o espaço de de Sitter Um espaço anti-de Sitter na relatividade geral é semelhante a um espaço de de Sitter, exceto que o sinal da curvatura do espaço-tempo é invertido. No espaço anti-de Sitter, na ausência de matéria ou energia, a curvatura das seções do tipo espaço é negativa, correspondendo a uma geometria hiperbólica, e geodésicas do tipo tempo momentaneamente paralelas eventualmente se interceptam. Isso corresponde a uma constante cosmológica negativa, onde o próprio espaço vazio tem densidade de energia negativa, mas pressão positiva, ao contrário do modelo ΛCDM padrão do nosso próprio universo, para o qual as observações de supernovas distantes indicam uma constante cosmológica positiva, correspondendo (assintoticamente no futuro) ao espaço de de Sitter.
Em um espaço anti-de Sitter, assim como num espaço de de Sitter, a curvatura inerente do espaço-tempo corresponde à constante cosmológica.
O espaço anti-de Sitter é também o espaço de de Sitter através de uma troca das etiquetas do tipo tempo e do tipo espaço. Tal renomeação inverte o sinal da curvatura, que é convencionalmente referenciada às direções que são rotuladas como do tipo espaço.
Espaços de de Sitter e anti-de Sitter vistos como imersos em cinco dimensões A analogia usada acima descreve a curvatura de um espaço bidimensional causada pela gravidade em um espaço ambiente plano de uma dimensão superior. Da mesma forma, os espaços (curvos) de de Sitter e anti-de Sitter de quatro dimensões podem, cada um, ser imersos em um espaço pseudo-riemanniano (plano) de cinco dimensões. Isso permite que distâncias e ângulos dentro do espaço imerso sejam determinados diretamente a partir daqueles no espaço plano pentadimensional.
Ressalvas O restante deste artigo explica os detalhes desses conceitos com uma descrição matemática e física muito mais rigorosa e precisa. Os seres humanos não são muito aptos a visualizar coisas em cinco ou mais dimensões, mas as equações matemáticas não enfrentam esse desafio e podem representar conceitos pentadimensionais de uma forma tão apropriada quanto os métodos que as equações matemáticas usam para descrever conceitos tridimensionais e quadridimensionais mais fáceis de visualizar.
Há uma implicação particularmente importante da descrição matemática mais precisa que difere da descrição heurística baseada em analogia do espaço de de Sitter e do espaço anti-de Sitter acima. A descrição matemática do espaço anti-de Sitter generaliza a ideia de curvatura. Na descrição matemática, a curvatura é uma propriedade de um ponto particular e pode ser desvinculada de alguma superfície invisível à qual os pontos curvos no espaço-tempo se moldam. Assim, por exemplo, conceitos como singularidades (o mais conhecido dos quais na relatividade geral é o buraco negro), que não podem ser expressos completamente em uma geometria do mundo real, podem corresponder a estados particulares de uma equação matemática.
A descrição matemática completa também captura algumas distinções sutis feitas na relatividade geral entre dimensões do tipo espaço e dimensões do tipo tempo.
Definição e propriedades Assim como os espaços esféricos e hiperbólicos podem ser visualizados por um mergulho isométrico em um espaço plano de uma dimensão superior (como a esfera e a pseudoesfera, respectivamente), o espaço anti-de Sitter pode ser visualizado como o análogo lorentziano de uma esfera imersa em um espaço de uma dimensão adicional, no qual a dimensão adicional é uma segunda dimensão do tipo tempo. Neste artigo adotamos a convenção de que o tensor métrico numa direção do tipo tempo é negativo.
thumb|Imagem do espaço anti-de Sitter -dimensional imerso no espaço plano -dimensional. Os eixos e encontram-se no plano de simetria rotacional, e o eixo é normal a esse plano. A superfície imersa contém curvas temporais fechadas, que circundam o eixo . O espaço anti-de Sitter de assinatura pode então ser isometricamente imerso no espaço com coordenadas e a métrica
como a quase-esfera
onde é uma constante não nula com dimensões de comprimento (o raio de curvatura). Cada ponto na imersão possui uma "distância" fixa (conforme determinado pela forma quadrática) a partir da origem, mas pode ser representado como um hiperboloide, como na imagem mostrada.
A métrica no espaço anti-de Sitter é aquela induzida a partir da métrica ambiente. Ela é não degenerada e possui assinatura lorentziana.
Curvas temporais fechadas e a cobertura universal