Na matemática, um módulo livre é um módulo que tem uma base, isto é, um conjunto gerador que é linearmente independente. Todo espaço vetorial é um módulo livre, mas, se o anel dos coeficientes não for um anel de divisão (não for um corpo no caso comutativo), então existem módulos não livres.

Dado qualquer conjunto e um anel , existe um -módulo livre com base , que é chamado de módulo livre sobre ou módulo de combinações lineares formais sobre dos elementos de .

Um grupo abeliano livre é precisamente um módulo livre sobre o anel dos inteiros.

Definição

Para um anel e um -módulo , o conjunto é uma base para se: é um conjunto gerador para ; ou seja, cada elemento de é uma soma finita de elementos de multiplicados por coeficientes em ; e é linearmente independente: para todo conjunto de elementos distintos, implica que (onde é o elemento neutro de e é o elemento neutro de ).

Um módulo livre é um módulo com uma base.

Uma consequência imediata da segunda metade da definição é que os coeficientes na primeira metade são únicos para cada elemento de .

Se tem número de base invariante, então, por definição, quaisquer duas bases têm a mesma cardinalidade. Por exemplo, anéis comutativos não nulos têm número de base invariante. A cardinalidade de qualquer (e, portanto, de toda) base é chamada de posto do módulo livre . Se esta cardinalidade for finita, diz-se que o módulo livre é livre de posto finito, ou livre de posto se for sabido que o posto é .

Exemplos Seja um anel. é um módulo livre de posto um sobre si mesmo (seja como um módulo à esquerda ou à direita); qualquer elemento invertível (unidade) é uma base. Mais geralmente, se for comutativo, um ideal não nulo de é livre se e somente se for um ideal principal gerado por um elemento que não é um divisor de zero, com o gerador sendo uma base.Demonstração: Suponha que seja livre com uma base . Para , deve ter uma combinação linear única em termos de e , o que não é verdade. Assim, como , há apenas um elemento na base que deve não ser um divisor de zero. A recíproca é clara. Sobre um domínio de ideais principais (ex., ), um submódulo de um módulo livre é livre. Se for comutativo, o anel de polinômios na indeterminada é um módulo livre com uma possível base Seja um anel de polinômios sobre um anel comutativo , um polinômio mônico de grau neste anel, e a imagem de em . Então contém como um subanel e é livre como um -módulo com uma base . Para qualquer número inteiro não negativo , , o produto cartesiano de cópias de como um -módulo à esquerda, é livre. Se tem número de base invariante, então o seu posto é . Uma soma direta de módulos livres é livre, enquanto um produto cartesiano infinito de módulos livres geralmente não é livre (cf. o grupo de Baer-Specker). Um módulo finitamente gerado sobre um anel local comutativo é livre se e somente se for fielmente plano. Além disso, o teorema de Kaplansky afirma que um módulo projetivo sobre um anel local (possivelmente não comutativo) é livre. Às vezes, determinar se um módulo é livre ou não é indecidível no sentido da teoria dos conjuntos. Um exemplo famoso é o problema de Whitehead, que pergunta se um grupo de Whitehead é livre ou não. Como se constata, o problema é independente de ZFC.

Combinações lineares formais

Dado um conjunto e um anel , existe um -módulo livre que tem como base: a saber, a soma direta de módulos de cópias de indexadas por

Explicitamente, é o submódulo do produto cartesiano (sendo visto, digamos, como um módulo à esquerda) que consiste nos elementos que têm apenas um número finito de componentes não nulas. Pode-se mergulhar em como um subconjunto identificando um elemento com aquele de cuja -ésima componente é 1 (a unidade de ) e todas as outras componentes são zero. Então cada elemento de pode ser escrito de forma única como

onde apenas um número finito de são não nulos. É chamado de uma combinação linear formal de elementos de .

Um argumento semelhante mostra que todo -módulo livre à esquerda (resp. à direita) é isomorfo a uma soma direta de cópias de como módulo à esquerda (resp. à direita).

Outra construção

O módulo livre também pode ser construído da seguinte maneira equivalente.

Dado um anel e um conjunto , primeiro, como um conjunto, definimos

Nós o equipamos com uma estrutura de módulo à esquerda de forma que a adição é definida por: para em ,

e a multiplicação escalar por: para em e em ,

Agora, como uma função de valor em sobre , cada em pode ser escrita unicamente como

onde estão em e apenas um número finito deles são não nulos, e é dado como

(esta é uma variante do delta de Kronecker). O exposto acima significa que o subconjunto de é uma base de . O mapeamento é uma bijeção entre e esta base. Através desta bijeção, é um módulo livre com a base .

Propriedade universal

O mapeamento de inclusão definido acima é universal no seguinte sentido. Dada uma função arbitrária de um conjunto para um -módulo à esquerda , existe um único homomorfismo de módulos tal que ; a saber, é definido pela fórmula:

e diz-se que é obtido estendendo por linearidade. A unicidade significa que cada transformação -linear é determinada de forma única pela sua restrição a .

Como é usual para propriedades universais, isso define a menos de um isomorfismo canônico. Além disso, a formação de para cada conjunto determina um functor , da categoria dos conjuntos para a categoria dos -módulos à esquerda. Ele é chamado de functor livre e satisfaz uma relação natural: para cada conjunto e um módulo à esquerda ,

onde é o functor esquecido, o que significa que é um functor adjunto à esquerda do functor esquecido.

Generalizações

Muitas afirmações verdadeiras para módulos livres estendem-se a certas classes maiores de módulos. Módulos projetivos são somandos diretos de módulos livres. Módulos planos são definidos pela propriedade de que o produto tensorial com eles preserva sequências exatas. Módulos livres de torção formam uma classe ainda mais ampla. Para um módulo finitamente gerado sobre um DIP (como ), as propriedades livre, projetivo, plano e livre de torção são equivalentes.

Propriedades de módulos na álgebra comutativa

Veja anel local, anel perfeito e anel de Dedekind.

Referências

Bibliografia

Categoria:Teoria dos módulos Categoria:Estruturas algébricas livres