Em matemática, o teorema de Lasker–Noether afirma que todo anel noetheriano é um anel de Lasker, o que significa que cada ideal pode ser decomposto como uma interseção, chamada de decomposição primária, de finitamente muitos ideais primários (que estão relacionados a, mas não são exatamente o mesmo que, potências de ideais primos). O teorema foi provado pela primeira vez por para o caso especial de anéis de polinômios e anéis de série de potências convergentes, e foi provado em sua generalidade total por .
O teorema de Lasker–Noether é uma extensão do teorema fundamental da aritmética e, mais geralmente, do teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados para todos os anéis noetherianos. O teorema desempenha um papel importante na geometria algébrica, ao afirmar que todo conjunto algébrico pode ser decomposto unicamente em uma união finita de componentes irredutíveis.
Ele possui uma extensão direta para módulos, afirmando que cada submódulo de um módulo finitamente gerado sobre um anel noetheriano é uma interseção finita de submódulos primários. Isso contém o caso para anéis como um caso especial, considerando o anel como um módulo sobre si mesmo, de modo que os ideais são submódulos. Isso também generaliza a forma de decomposição primária do teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais e, para o caso especial de anéis de polinômios sobre um corpo, generaliza a decomposição de um conjunto algébrico em uma união finita de variedades (irredutíveis).
O primeiro algoritmo para computar decomposições primárias para anéis de polinômios sobre um corpo de característica 0A decomposição primária requer testar a irredutibilidade de polinômios, o que nem sempre é algoritmicamente possível em característica diferente de zero. foi publicado pela aluna de Noether, . A decomposição não se sustenta em geral para anéis noetherianos não comutativos. Noether deu um exemplo de um anel noetheriano não comutativo com um ideal à direita que não é uma interseção de ideais primários.
Decomposição primária de um ideal Seja um anel comutativo noetheriano. Um ideal de é chamado de primário se for um ideal próprio e, para cada par de elementos e em tal que esteja em , ou ou alguma potência de esteja em ; equivalentemente, cada divisor de zero no anel quociente é nilpotente. O radical de um ideal primário é um ideal primo e diz-se que é -primário para .
Seja um ideal em . Então possui uma decomposição primária irredundante em ideais primários:
.
Irredundância significa:
Remover qualquer um dos altera a interseção, ou seja, para cada temos: . Os ideais primos são todos distintos.
Além disso, esta decomposição é única de duas maneiras: O conjunto é unicamente determinado por , e Se for um elemento minimal do conjunto acima, então é unicamente determinado por ; de fato, é a pré-imagem de sob o mapa de localização .
Ideais primários que correspondem a ideais primos não minimais sobre geralmente não são únicos (veja um exemplo abaixo). Para a existência da decomposição, veja a seção #Decomposição primária a partir de primos associados abaixo.
Os elementos de são chamados de divisores primos de ou os primos pertencentes a . Na linguagem da teoria dos módulos, como discutido abaixo, o conjunto é também o conjunto de primos associados do -módulo . Explicitamente, isso significa que existem elementos em tais que Em outras palavras, é o ideal quociente.
Como atalho, alguns autores chamam um primo associado de simplesmente de um primo associado de (note que esta prática entrará em conflito com o uso na teoria dos módulos). Os elementos minimais de são os mesmos que os ideais primos minimais contendo e são chamados de primos isolados. Os elementos não minimais, por outro lado, são chamados de primos imersos (ou encravados).
No caso do anel dos inteiros , o teorema de Lasker–Noether é equivalente ao teorema fundamental da aritmética. Se um inteiro possui fatoração prima , então a decomposição primária do ideal gerado por em é
Similarmente, em um domínio de fatoração única, se um elemento possui uma fatoração prima onde é uma unidade, então a decomposição primária do ideal principal gerado por é
Exemplos Os exemplos desta seção são projetados para ilustrar algumas propriedades das decomposições primárias que podem parecer surpreendentes ou contra-intuitivas. Todos os exemplos são ideais em um anel de polinômios sobre um corpo .
Interseção vs. produto A decomposição primária em do ideal é
Devido ao gerador de grau um, não é o produto de dois ideais maiores. Um exemplo similar é dado, em duas indeterminadas, por
Primário vs. potência prima Em , o ideal é um ideal primário que possui como primo associado. Ele não é uma potência de seu primo associado.
Não-unicidade e primo imerso
Para cada inteiro positivo , uma decomposição primária em do ideal é
Os primos associados são
Exemplo: Seja N = R = k[x, y] para algum corpo k, e seja M o ideal (xy, y2). Então M possui duas decomposições primárias minimais diferentes: M = (y) ∩ (x, y2) = (y) ∩ (x + y, y2). O primo minimal é (y) e o primo imerso é (x, y).
Primo não associado entre dois primos associados Em o ideal possui a decomposição primária (não única)
Os ideais primos associados são e é um ideal primo não associado tal que
Um exemplo complicado Exceto para exemplos muito simples, uma decomposição primária pode ser difícil de calcular e pode ter um resultado muito complicado. O exemplo a seguir foi projetado para fornecer um resultado complicado, sendo, no entanto, acessível ao cálculo manual.
Sejam
dois polinômios homogêneos em , cujos coeficientes são polinômios em outras indeterminadas sobre um corpo . Isto é, e pertencem a e é neste anel que se busca uma decomposição primária do ideal . Para calcular a decomposição primária, supomos primeiro que 1 é o máximo divisor comum de e .
Esta condição implica que não tem componente primária de altura um. Como é gerado por dois elementos, isso implica que ele é uma interseção completa (mais precisamente, define um conjunto algébrico que é uma interseção completa), e assim todas as componentes primárias têm altura dois. Portanto, os primos associados de são exatamente os ideais primos de altura dois que contêm .
Segue-se que é um primo associado de .
Seja o resultante homogêneo em de e . Como o máximo divisor comum de e é uma constante, o resultante não é zero, e a teoria dos resultantes implica que contém todos os produtos de por um monômio em de grau . Como todos esses monômios pertencem à componente primária contida em Esta componente primária contém e , e o comportamento das decomposições primárias sob localização mostra que esta componente primária é
Em resumo, temos uma componente primária, com o primo associado muito simples tal que todos os seus conjuntos geradores envolvem todas as indeterminadas.
A outra componente primária contém . Pode-se provar que, se e forem suficientemente genéricos (por exemplo, se os coeficientes de e forem indeterminadas distintas), então haverá apenas outra componente primária, que é um ideal primo, e é gerada por , e .
Interpretação geométrica Em geometria algébrica, um conjunto algébrico afim é definido como o conjunto dos zeros comuns de um ideal de um anel de polinômios
Uma decomposição primária irredundante
de define uma decomposição de em uma união de conjuntos algébricos , que são irredutíveis, por não serem a união de dois conjuntos algébricos menores.
Se é o primo associado de , então e o teorema de Lasker–Noether mostra que tem uma decomposição irredundante única em variedades algébricas irredutíveis
onde a união é restrita aos primos associados minimais. Esses primos associados minimais são as componentes primárias do radical de . Por esta razão, a decomposição primária do radical de é às vezes chamada de decomposição prima de .
As componentes de uma decomposição primária (bem como da decomposição do conjunto algébrico) correspondentes a primos minimais são ditas isoladas, e as outras são ditas imersas.
Para a decomposição de variedades algébricas, apenas os primos minimais são interessantes, mas na teoria da interseção e, mais geralmente, na teoria dos esquemas, a decomposição primária completa possui um significado geométrico.
Decomposição primária a partir de primos associados Hoje em dia, é comum fazer a decomposição primária de ideais e módulos dentro da teoria dos primos associados. O influente livro de Bourbaki, Algèbre commutative, em particular, adota esta abordagem.
Seja um anel e um módulo sobre ele. Por definição, um primo associado é um ideal primo que é o anulante de um elemento não nulo de ; isto é, para algum (isso implica ). Equivalentemente, um ideal primo é um primo associado de se houver uma injeção de -módulos .
Pode-se mostrar que um elemento maximal do conjunto de anulantes de elementos não nulos de é um ideal primo e, assim, quando é um anel noetheriano, existe um primo associado de se e somente se for não nulo.
O conjunto de primos associados de é denotado por ou . Diretamente da definição: Se , então . Para uma sequência exata , . Se for um anel noetheriano, então , onde refere-se ao suporte. Além disso, o conjunto de elementos minimais de é o mesmo que o conjunto de elementos minimais de .
Se for um módulo finitamente gerado sobre , então existe uma sequência ascendente finita de submódulos
tal que cada quociente é isomórfico a para alguns ideais primos , cada um dos quais está necessariamente no suporte de . Além disso, cada primo associado de ocorre entre o conjunto de primos ; isto é, . (Em geral, essas inclusões não são igualdades.) Em particular, é um conjunto finito quando é finitamente gerado.
Seja um módulo finitamente gerado sobre um anel noetheriano e um submódulo de . Dado , o conjunto de primos associados de , existem submódulos tais que e Aqui está a prova da existência da decomposição (seguindo Bourbaki). Seja um módulo finitamente gerado sobre um anel noetheriano e um submódulo. Para mostrar que admite uma decomposição primária, substituindo por , basta mostrar o caso em que . Agora,
onde são submódulos primários de . Em outras palavras, 0 tem uma decomposição primária se, para cada primo associado de , houver um submódulo primário tal que . Agora, considere o conjunto (que não é vazio, pois zero está nele). O conjunto tem um elemento maximal , já que é um módulo noetheriano. Se não for -primário, digamos, é associado a , então para algum submódulo , contradizendo a maximalidade. Assim, é primário e a prova está completa.
Observação: A mesma prova mostra que, se , , forem todos graduados, então na decomposição também poderá ser considerado graduado. Um submódulo de é chamado de -primário se . Um submódulo do -módulo é -primário como submódulo se e somente se for um -primário ideal; assim, quando , a decomposição acima é precisamente uma decomposição primária de um ideal.
Tomando , a decomposição acima diz que o conjunto de primos associados de um módulo finitamente gerado é o mesmo que quando (sem geração finita, pode haver infinitos primos associados).
Propriedades dos primos associados Seja um anel noetheriano. Então: O conjunto de divisores de zero em é o mesmo que a união dos primos associados de (isso ocorre porque o conjunto de divisores de zero de é a união do conjunto de anulantes de elementos não nulos, cujos elementos maximais são primos associados). Pela mesma razão, a união dos primos associados de um -módulo é exatamente o conjunto de divisores de zero em , ou seja, um elemento tal que o endomorfismo não é injetivo. Dado um subconjunto , sendo um -módulo, existe um submódulo tal que e . Seja um subconjunto multiplicativo, um -módulo e o conjunto de todos os ideais primos de que não intersectam . Então é uma bijunção. Além disso, . Qualquer ideal primo minimal em relação a conter um ideal está em Esses primos são precisamente os primos isolados.