Em matemática, os teoremas abeliano e tauberiano são teoremas que dão condições para que dois métodos de soma de séries divergentes deem o mesmo resultado, nomeados em homenagem a Niels Henrik Abel e Alfred Tauber. Os exemplos originais são o Teorema de Abel, que mostra que se uma série converge para algum limite, então a sua soma de Abel é o mesmo limite, e o teorema de Tauber, que mostra que se a soma de Abel de uma série existe e os coeficientes são suficientemente pequenos (o(1/n)), então a série converge para a soma de Abel. Teoremas abelianos e tauberianos mais gerais dão resultados semelhantes para métodos de soma mais abrangentes.

Ainda não há uma distinção clara entre os teoremas abelianos e tauberianos, nem uma definição universalmente aceita do que esses termos significam. Frequentemente, um teorema é chamado de "abeliano" se mostra que algum método de soma dá a soma usual para séries convergentes, e é chamado de "tauberiano" se dá condições para que uma série somável por algum método permita que ela também seja somável no sentido usual.

Na teoria das transformadas integrais, os teoremas abelianos dão o comportamento assintótico da transformada com base nas propriedades da função original. Por outro lado, os teoremas tauberianos dão o comportamento assintótico da função original com base nas propriedades da transformada, mas geralmente requerem algumas restrições na função original.

Teoremas abelianos

Para qualquer método de soma L, o seu teorema abeliano é o resultado de que se c = (cn) é uma sequência convergente, com limite C, então L(c) = C.

Um exemplo é dado pelo método de Cesàro, no qual L é definido como o limite das médias aritméticas dos primeiros N termos de c, quando N tende ao infinito. Pode-se provar que, se c de fato converge para C, então o mesmo ocorre com a sequência (dN) onde

Para ver isso, subtraia C de todos os termos para reduzir ao caso C = 0. Então divida a sequência em um segmento inicial e uma cauda de termos pequenos: dado qualquer ε > 0, podemos tomar um N grande o suficiente para que a média do segmento inicial de termos até cN seja no máximo ε/2, enquanto cada termo na cauda é limitado por ε/2, de forma que a média também é necessariamente limitada.

O nome deriva do Teorema de Abel sobre séries de potências. Nesse caso, L é o limite radial (pensado dentro do disco unitário complexo), onde fazemos com que r tenda ao limite 1 por baixo ao longo do eixo real na série de potências com o termo

anzn

e definimos z = r ·eiθ. Esse teorema tem seu principal interesse no caso em que a série de potências possui um raio de convergência exatamente igual a 1: se o raio de convergência for maior que um, a convergência da série de potências é uniforme para r em [0,1], de forma que a soma é automaticamente contínua e segue diretamente que o limite quando r tende a 1 é simplesmente a soma dos an. Quando o raio é 1, a série de potências terá alguma singularidade em |z| = 1; a afirmação é que, no entanto, se a soma dos an existir, ela é igual ao limite sobre r. Isso, portanto, se encaixa perfeitamente no quadro abstrato.

Teoremas tauberianos

As recíprocas parciais (veja conversão) dos teoremas abelianos são chamadas de teoremas tauberianos. O resultado original de afirmou que se também assumirmos que

an = o(1/n)

(veja Notação pequeno-o) e que o limite radial existe, então a série obtida fazendo z = 1 é, de fato, convergente. Isso foi fortalecido por John Edensor Littlewood: precisamos apenas assumir O(1/n). Uma generalização abrangente é o Teorema tauberiano de Hardy-Littlewood.

No cenário abstrato, portanto, um teorema abeliano afirma que o domínio de L contém as sequências convergentes, e que seus valores ali são iguais aos do funcional Lim. Um teorema tauberiano afirma, sob certas condições de crescimento, que o domínio de L é composto exatamente pelas sequências convergentes e nada mais.

Se pensarmos em L como algum tipo generalizado de média ponderada, tomada até o limite, um teorema tauberiano permite descartar a ponderação, sob as hipóteses corretas. Há muitas aplicações desse tipo de resultado na teoria dos números, em particular ao manipular as séries de Dirichlet.

O desenvolvimento do campo dos teoremas tauberianos tomou um novo rumo com os resultados bastante gerais de Norbert Wiener, nomeadamente o Teorema tauberiano de Wiener e a sua vasta coleção de corolários. O teorema central pode agora ser provado por métodos de álgebra de Banach, e abrange grande parte, embora não toda, a teoria anterior.

Ver também Teorema tauberiano de Wiener Teorema tauberiano de Hardy-Littlewood Teorema tauberiano de Haar

Referências

Ligações externas

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