340px|miniatura|A posição dos números no plano é determinada pela sua parte real e parte imaginária, registadas respetivamente no eixo Re e no eixo Im, de modo que a cada número complexo corresponde um ponto – de forma inteiramente análoga à forma como cada número real pode ser interpretado como um ponto numa reta numérica. A imagem mostra os dois pontos de Heegner e no semiplano superior.
Os pontos de Heegner (nomeados em honra de Kurt Heegner) são números que resolvem equações quadráticas com coeficientes inteiros e que podem ser associados a pontos em figuras geométricas, nomeadamente curvas modulares. Os pontos em curvas modulares dados através desta associação são igualmente designados por pontos de Heegner e são objeto da geometria aritmética. Estes desempenham um papel de relevo na teoria das curvas elípticas e na Teoria do corpo de classes. Os pontos de Heegner distinguem-se dos homónimos números de Heegner.
As soluções da equação quadrática designadas por pontos de Heegner são números complexos com uma parte imaginária exclusivamente positiva. Por exemplo, o número é um ponto de Heegner, dado que possui a parte imaginária positiva e satisfaz a equação . As soluções são utilizadas para gerar pontos que satisfazem as equações mais complicadas de curvas modulares ou curvas elípticas. A mais-valia deste método reside no facto de os pontos de Heegner poderem ser facilmente determinados a partir da equação quadrática. Os pontos gerados desta forma fornecem, em última análise, algumas informações sobre questões oriundas da teoria dos números. Kurt Heegner utilizou-os para investigar questões relacionadas com a decomposição de números em blocos multiplicativos mais elementares, que são análogas à teoria dos números primos.
Indiretamente, os pontos de Heegner estão envolvidos em ideias para determinar a constante circular com muitas casas decimais. Constituem um ponto de partida para o Algoritmo de Chudnovsky, com a ajuda do qual, à data de 2024, já haviam sido calculadas mais de 200 trilhões de casas decimais de .
Os pontos de Heegner adquirem particular proeminência na temática em torno da Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, um dos sete Problemas do Milénio da matemática. Estes desempenharam o papel fundamental na questão de saber por que motivo esta hipótese, até hoje no geral não demonstrada, só pôde ser provada em casos muito específicos com os conhecimentos alcançados até agora. Estes são exatamente os casos em que as curvas elípticas associadas – que são os objetos da conjectura – têm uma "relação direta" com os pontos de Heegner. Através da consideração de um número infinito de pontos de Heegner em simultâneo, os chamados sistemas de Heegner, Victor Kolyvagin, em combinação com os resultados de Benedict Gross e Don Zagier no ano de 1988, conseguiu demonstrar que a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer é verdadeira no caso dos postos analíticos e .
Até hoje, os pontos de Heegner são considerados objetos de interesse matemático, inclusive na utilização de algoritmos, ou seja, procedimentos computacionais. Importantes contributos para a sua investigação foram prestados por Bryan Birch, Henri Darmon, Peter Swinnerton-Dyer, Benedict Gross, Kurt Heegner, Winfried Kohnen, Victor Kolyvagin, Barry Mazur, Heinrich Weber, Zhang Wei, Don Zagier e Shou-Wu Zhang.
Enquadramento fundamental
Sobre curvas e pontos racionais
miniatura|upright=1.3|Gráfico do círculo
Uma curva algébrica é, em princípio, um conjunto de pontos que satisfazem uma relação algébrica comum. Isto significa que existe uma equação igualada a zero, na qual apenas se efetua a adição, subtração, multiplicação e divisão, que é satisfeita por todos os pontos. Um exemplo é a equação (o é apenas multiplicado por si mesmo e, em seguida, subtrai-se 1 ao resultado), cuja solução exata é . Assim, o conjunto forma o "estágio preliminar" de uma curva, embora dois pontos ainda não evoquem uma perceção "curva".
Um primeiro exemplo não trivial e frequentemente citado de uma curva é o círculo com raio 1 e centro no plano numérico, que é dado exatamente pelos pontos que satisfazem a relação . Podem assim existir pontos com mais de uma coordenada a formar curvas e, de facto, é aqui que a situação se torna mais "rica". O facto de as soluções reais da equação formarem um círculo pode ser provado através do Teorema de Pitágoras. É interessante notar que uma figura essencialmente geométrica como o círculo advém de uma relação algébrica. Outras estruturas, como retas, planos, hipérboles, etc., baseiam-se igualmente em equações algébricas.
Embora o círculo só possa surgir "sem lacunas" ao considerarmos todos os números reais, já que, por exemplo, o ponto se encontra no círculo, uma vez que
é do interesse da teoria dos números encontrar pontos nas curvas que sejam particularmente "simples". Com isto quer-se dizer, por exemplo, pontos racionais, que, para além da já restritiva exigência de pertencerem à curva, devem ter a propriedade de as suas coordenadas poderem ser descritas por quocientes de números inteiros. Assim, uma questão clássica da teoria dos números é saber quais os pontos racionais que se encontram no círculo . Por exemplo, não é um ponto racional, pois sabe-se que a raiz quadrada de 2 não é um número racional. Exemplos de pontos racionais são , dado que
mas também bem como . Estes pontos derivam dos ternos pitagóricos, ou seja, números inteiros não triviais com . É possível mostrar através de métodos elementares que existem infinitos ternos pitagóricos primitivos (ou seja, aqueles que não são múltiplos inteiros de outros ternos), razão pela qual o círculo está efetivamente "repleto" de pontos racionais, ver também o artigo Grupo dos pontos racionais no círculo unitário.
Em geral, as curvas quadráticas são consideradas como amplamente compreendidas no que diz respeito aos pontos racionais.
Já através deste exemplo torna-se percetível uma síntese entre Geometria (figuras, neste caso um círculo), Álgebra (equações que utilizam apenas operações aritméticas básicas) e a Teoria dos números (números racionais).
Curvas elípticas
miniatura|upright=1.3|Gráfico real da curva elíptica . O que se vê é a secção transversal de um tubo fechado e de um tubo aparentemente aberto. No entanto, se juntarmos mentalmente os dois pedaços que apontam para o infinito, obtemos de uma perspetiva topológica, após adicionar um ponto de ligação no infinito (que é formalmente contado como solução), uma segunda secção circular. Ambos os "círculos" são a secção transversal de uma superfície inteira de soluções que seriam adicionadas se considerássemos quaisquer números complexos. Contudo, o corte transversal não foi feito no espaço tridimensional, mas sim no espaço tetradimensional (ver abaixo).
De longe, não tão acessíveis são as chamadas curvas elípticas (sobre os números racionais), que em geral podem ser descritas na forma com números racionais . Enquanto a figura geométrica do círculo se baseava numa equação quadrática, uma curva elíptica é uma equação cúbica (ou seja, com termos "elevados a 3"). O aspeto particular das curvas elípticas é que, a partir de dois pontos (racionais) já conhecidos e , é possível calcular um novo ponto racional através de uma operação , da mesma forma que, a partir de dois números inteiros, se pode gerar um novo número inteiro através da adição. Na adição de um ponto racional a si próprio, podem ocorrer duas situações: Ou o ponto considerado tem ordem finita e fecha um ciclo finito, ou seja, em algum momento ocorre a situação e tudo recomeça, ou surgem sempre novos pontos até ao infinito, o que é comparável à geração de todos os números naturais através de . Neste caso, diz-se que tem ordem infinita. Ocasionalmente, fala-se de pontos de ordem finita como pontos triviais e dos de ordem infinita como pontos não triviais.
A teoria das curvas elípticas é extremamente vasta, tendo relevância na teoria dos números em ligação ao Último teorema de Fermat, e é estimada por matemáticos como Henri Cohen em muitos milhares de páginas de extensão (na linguagem matemática moderna). Apesar das suas estruturas, algumas das suas propriedades ainda não foram clarificadas até hoje. Por exemplo, não se conhece atualmente nenhum algoritmo geral que forneça um número finito de pontos racionais com a ajuda dos quais todos os outros pontos racionais na curva possam ser obtidos por associação (uma resposta afirmativa à versão forte da Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer forneceria, no entanto, um tal algoritmo). Contudo, em alguns casos, os pontos de Heegner podem ajudar a gerar pontos racionais não triviais.
O que coloca as curvas elípticas sobre os números racionais no centro das atenções, para além da sua capacidade de adição de pontos, é o facto de serem as únicas curvas que podem ter um número finito, mas também infinito, de pontos racionais. Na verdade, as curvas elípticas têm género e, de acordo com a Conjectura de Mordell (demonstrada por Gerd Faltings), as curvas de género com um ponto racional já possuem infinitos pontos racionais, enquanto as curvas de género só podem ter sempre um número finito de pontos racionais. Pelo seu feito, Faltings foi agraciado em 1986 com a Medalha Fields.
Parametrização de curvas elípticas
miniatura|upright=1.3|Através de ou , o círculo com raio 1 e centro na origem é parametrizado no plano real ou complexo. No gráfico acima, . miniatura|upright=1.3|Sobre os números complexos, o conjunto de pontos de uma curva elíptica pode ser representado como um toro (donut). No entanto, a superfície (anteriormente muito distorcida) da estrutura de solução da equação foi colocada de forma contínua na forma idealizada apresentada. Deve notar-se que o conjunto de pontos original era uma superfície bidimensional (real) (unidimensional complexa) e um subconjunto do espaço tetradimensional (real) , mas após a transformação na imagem, foi colocada no espaço tridimensional para efeitos de ilustração. A propriedade de uma curva elíptica de ser um donut sobre os números complexos pode ser explicada pela forma como esta pode ser parametrizada.
Uma Parametrização é um mapeamento de um objeto de parâmetro "simples" para um objeto de destino "complicado", com a ajuda do qual partes não triviais arbitrárias do objeto de destino podem ser geradas através da inserção de entradas arbitrárias (parâmetros) do objeto de parâmetro. Com "simples", quer-se dizer que o objeto de parâmetro é essencialmente um "objeto de parâmetro conhecido", sobre o qual existe conhecimento suficiente e a partir de cujo stock valores são agora inseridos sequencialmente para construir com eles um outro objeto (desconhecido, mais complicado ou estruturalmente mais exigente). Frequentemente, tanto as entradas como as saídas são pontos que, na sua coleção, representam um objeto geométrico.
Um exemplo de parametrização é a do círculo: O objeto de parâmetro "simples" é aqui o intervalo , ou seja, todos os números reais entre 0 e 1, sobre cujo conteúdo temos domínio canónico, e o objeto de destino "complicado" é o círculo, sendo que uma possível aplicação é
Pelo teorema de Pitágoras, é independente da entrada , de modo que, devido à periodicidade e continuidade do seno e do cosseno, é gerado todo o círculo. Se usarmos a visualização dos números complexos (com números reais ) como pontos , a parametrização simplifica-se para
Para a relação entre o seno, o cosseno e a função exponencial complexa, ver também a Fórmula de Euler. Do ponto de vista geométrico ou topológico, o intervalo , um "fio" com uma unidade de comprimento, é agarrado em ambas as extremidades e unido formando um círculo.