thumb|direita|upright|200px|Vários estágios do fluxo de Ricci em uma variedade 2D

Na geometria diferencial e na análise geométrica, o fluxo de Ricci ( , ), às vezes também referido como fluxo de Ricci de Hamilton, é uma certa equação diferencial parcial para uma métrica riemanniana. É frequentemente dito que é análogo à difusão do calor e à equação do calor, devido a semelhanças formais na estrutura matemática da equação. No entanto, é não-linear e exibe muitos fenômenos que não estão presentes no estudo da equação do calor.

O fluxo de Ricci, assim nomeado devido à presença do tensor de Ricci em sua definição, foi introduzido por Richard Hamilton, que o utilizou durante a década de 1980 para provar novos e impressionantes resultados na geometria riemanniana. Extensões posteriores dos métodos de Hamilton por vários autores resultaram em novas aplicações à geometria, incluindo a resolução da conjectura da esfera diferenciável por Simon Brendle e Richard Schoen.

Seguindo a possibilidade de que as singularidades das soluções do fluxo de Ricci pudessem identificar os dados topológicos previstos pela conjectura de geometrização de William Thurston, Hamilton produziu uma série de resultados na década de 1990 que foram direcionados à resolução da conjectura. Em 2002 e 2003, Grigori Perelman apresentou uma série de novos resultados fundamentais sobre o fluxo de Ricci, incluindo uma nova variante de alguns aspectos técnicos do programa de Hamilton.

O trabalho de Perelman é hoje amplamente considerado como a prova da conjectura de Thurston e da conjectura de Poincaré, vista como um caso especial da primeira. Deve-se enfatizar que a conjectura de Poincaré foi um problema aberto muito conhecido no campo da topologia geométrica desde 1904. Estes resultados de Hamilton e Perelman são considerados um marco nos campos da geometria e da topologia.

Definição matemática

Em uma variedade suave , uma métrica riemanniana suave determina automaticamente o tensor de Ricci . Para cada elemento de , por definição, é um produto interno positivo definido no espaço tangente em . Se for dada uma família a um parâmetro de métricas riemannianas , pode-se então considerar a derivada , que então atribui a cada valor particular de e uma forma bilinear simétrica em . Uma vez que o tensor de Ricci de uma métrica riemanniana também atribui a cada uma forma bilinear simétrica em , a seguinte definição faz sentido. Dada uma variedade suave e um intervalo real aberto , um fluxo de Ricci (Ricci flow) atribui, a cada no intervalo , uma métrica riemanniana em tal que . O tensor de Ricci é frequentemente pensado como um valor médio das curvaturas seccionais, ou como um traço algébrico do tensor de curvatura de Riemann. No entanto, para a análise da existência e unicidade dos fluxos de Ricci, é extremamente significativo que o tensor de Ricci possa ser definido, em coordenadas locais, por uma fórmula envolvendo a primeira e a segunda derivadas do tensor métrico. Isso torna o fluxo de Ricci em uma equação diferencial parcial definida geometricamente. A análise da elipticidade da fórmula em coordenadas locais fornece o fundamento para a existência de fluxos de Ricci; veja a seção a seguir para o resultado correspondente.

Seja um número diferente de zero. Dado um fluxo de Ricci em um intervalo , considere para entre e . Então . Assim, com essa mudança de parâmetros muito trivial, o número −2 que aparece na definição do fluxo de Ricci poderia ser substituído por qualquer outro número diferente de zero. Por esse motivo, o uso de −2 pode ser considerado como uma convenção arbitrária, embora seja uma que essencialmente todo artigo e exposição sobre o fluxo de Ricci segue. A única diferença significativa é que se −2 fosse substituído por um número positivo, o teorema de existência discutido na seção a seguir se tornaria um teorema que produz um fluxo de Ricci que se move para trás (em vez de para frente) nos valores dos parâmetros a partir dos dados iniciais.

O parâmetro é geralmente chamado de tempo, embora isso seja apenas parte da terminologia informal padrão no campo matemático de equações diferenciais parciais. Não é uma terminologia com significado físico. De fato, na interpretação padrão da teoria quântica de campos do fluxo de Ricci em termos do grupo de renormalização, o parâmetro corresponde ao comprimento ou energia, e não ao tempo.

Fluxo de Ricci normalizado Suponha que seja uma variedade suave compacta, e seja um fluxo de Ricci para no intervalo . Defina de modo que cada uma das métricas riemannianas tenha volume 1; isso é possível já que é compacta. (Mais genericamente, seria possível se cada métrica riemanniana tivesse volume finito.) Em seguida, defina como sendo a antiderivada de que se anula em . Como tem valores positivos, é uma bijeção sobre a sua imagem . Agora as métricas riemannianas , definidas para os parâmetros , satisfazem

Aqui denota a curvatura escalar. Esta é chamada de equação do fluxo de Ricci normalizado. Assim, com uma mudança de escala explicitamente definida e uma reparametrização dos valores dos parâmetros, um fluxo de Ricci pode ser convertido em um fluxo de Ricci normalizado. A recíproca também é verdadeira, revertendo os cálculos acima.

O motivo principal para considerar o fluxo de Ricci normalizado é que ele permite uma formulação conveniente dos principais teoremas de convergência para o fluxo de Ricci. No entanto, não é essencial fazê-lo e, para praticamente todos os propósitos, é suficiente considerar o fluxo de Ricci em sua forma padrão. Além disso, o fluxo de Ricci normalizado geralmente não tem sentido em variedades não compactas.

Existência e unicidade Seja uma variedade suave fechada, e seja qualquer métrica riemanniana suave em . Fazendo uso do teorema da função implícita de Nash-Moser, demonstrou o seguinte teorema de existência: Existe um número positivo e um fluxo de Ricci parametrizado por tal que converge para na topologia à medida que decresce para 0. Ele demonstrou o seguinte teorema de unicidade: Se e são dois fluxos de Ricci como no teorema de existência acima, então para todo O teorema de existência fornece uma família a um parâmetro de métricas riemannianas suaves. De fato, qualquer família a um parâmetro desse tipo também depende suavemente do parâmetro. Precisamente, isso significa que, em relação a qualquer carta de coordenadas suave em , a função é suave para qualquer .

Dennis DeTurck subsequentemente deu uma prova dos resultados acima utilizando, em vez disso, o teorema da função implícita de Banach. Seu trabalho é essencialmente uma versão riemanniana mais simples da conhecida prova e interpretação de Yvonne Choquet-Bruhat sobre a boa colocação (well-posedness) das equações de Einstein na geometria lorentziana.

Como consequência do teorema de existência e unicidade de Hamilton, quando se tem os dados , pode-se falar inequivocamente do fluxo de Ricci em com dados iniciais , e pode-se selecionar para assumir o seu valor máximo possível, que poderia ser infinito. O princípio por trás de praticamente todas as principais aplicações do fluxo de Ricci, em particular na prova da conjectura de Poincaré e da conjectura de geometrização, é que, à medida que se aproxima desse valor máximo, o comportamento das métricas pode revelar e refletir informações profundas sobre .

Teoremas de convergência Exposições completas dos seguintes teoremas de convergência são dadas em e .

O resultado tridimensional é devido a . A prova de Hamilton, inspirada e vagamente modelada no artigo memorável de 1964 de James Eells e Joseph Sampson sobre a convergência do fluxo de calor de aplicações harmônicas, incluiu muitas características inovadoras, como uma extensão do princípio do máximo para o contexto de tensores simétricos de ordem 2. O seu artigo (juntamente com o de Eells−Sampson) está entre os mais amplamente citados no campo da geometria diferencial. Há uma exposição do seu resultado em .

Em termos da prova, o caso bidimensional é propriamente visto como uma coleção de três resultados diferentes, um para cada um dos casos em que a característica de Euler de é positiva, zero ou negativa. Conforme demonstrado por , o caso negativo é tratado pelo princípio do máximo, enquanto o caso zero é tratado por estimativas integrais; o caso positivo é mais sutil, e Hamilton lidou com o subcaso em que tem curvatura positiva combinando uma adaptação direta da estimativa de gradiente de Peter Li e Shing-Tung Yau para o fluxo de Ricci juntamente com uma inovadora "estimativa de entropia". O caso positivo completo foi demonstrado por Bennett , em uma extensão das técnicas de Hamilton. Uma vez que qualquer fluxo de Ricci em uma variedade bidimensional é confinado a uma única classe conforme, ele pode ser reescrito como uma equação diferencial parcial para uma função escalar na variedade riemanniana fixa . Sendo assim, o fluxo de Ricci neste contexto também pode ser estudado por métodos puramente analíticos; correspondentemente, existem provas não geométricas alternativas do teorema de convergência bidimensional.

O caso de dimensão superior tem uma história mais longa. Logo após o resultado inovador de Hamilton, Gerhard Huisken estendeu os seus métodos para dimensões superiores, mostrando que se tiver curvatura positiva quase constante (no sentido de pequenez de certas componentes da decomposição de Ricci), então o fluxo de Ricci normalizado converge suavemente para uma curvatura constante. encontrou uma nova formulação do princípio do máximo em termos de aprisionamento por conjuntos convexos, o que levou a um critério geral relacionando a convergência do fluxo de Ricci de métricas curvadas positivamente à existência de "conjuntos de estrangulamento" (pinching sets) para uma certa equação diferencial ordinária multidimensional. Como consequência, ele foi capaz de resolver o caso em que é quadridimensional e tem um operador de curvatura positivo. Vinte anos depois, Christoph Böhm e Burkhard Wilking encontraram um novo método algébrico para construir "conjuntos de estrangulamento", removendo assim a suposição de quadridimensionalidade do resultado de Hamilton (). Simon Brendle e Richard Schoen mostraram que a positividade da curvatura isotrópica é preservada pelo fluxo de Ricci em uma variedade fechada; ao aplicar o método de Böhm e Wilking, eles foram capazes de derivar um novo teorema de convergência do fluxo de Ricci (). O teorema de convergência deles incluiu como um caso especial a resolução do teorema da esfera diferenciável, que na época era uma conjectura de longa data. O teorema de convergência dado acima é devido a , que subsume os resultados de convergência de dimensão superior anteriores de Huisken, Hamilton, Böhm & Wilking e Brendle & Schoen.

Corolários Os resultados em dimensões três e superiores mostram que qualquer variedade fechada suave que admita uma métrica do tipo dado deve ser uma forma espacial de curvatura positiva. Como essas formas espaciais são amplamente compreendidas pelo trabalho de Élie Cartan e outros, pode-se extrair corolários como: Suponha que seja uma variedade tridimensional fechada suave que admita uma métrica riemanniana suave de curvatura de Ricci positiva. Se for simplesmente conexa, então ela deve ser difeomorfa à 3-esfera.

Portanto, se fosse possível mostrar diretamente que qualquer variedade tridimensional suave fechada e simplesmente conexa admite uma métrica riemanniana suave de curvatura de Ricci positiva, então a Conjectura de Poincaré seguiria imediatamente. No entanto, da forma como as coisas são compreendidas no momento, este resultado é conhecido apenas como um corolário (trivial) da conjectura de Poincaré, e não o contrário.

Extensões possíveis