Na geometria algébrica, uma curva estável é uma curva algébrica que é assintoticamente estável no sentido da teoria dos invariantes geométricos.
Isso é equivalente à condição de que ela seja uma curva conexa completa cujas únicas singularidades sejam pontos duplos ordinários e cujo grupo de automorfismos seja finito. A condição de que o grupo de automorfismos seja finito pode ser substituída pela condição de que a curva não tenha gênero aritmético um e que toda componente racional não singular encontre as outras componentes em pelo menos 3 pontos .
Uma curva semiestável é aquela que satisfaz condições semelhantes, exceto que o grupo de automorfismos pode ser redutivo em vez de finito (ou, equivalentemente, sua componente conexa pode ser um toro). Alternativamente, a condição de que as componentes racionais não singulares encontrem as outras componentes em pelo menos três pontos é substituída pela condição de que elas se encontrem em pelo menos dois pontos.
De forma análoga, uma curva com um número finito de pontos marcados é chamada de estável se for completa, conexa, tiver apenas pontos duplos ordinários como singularidades e tiver um grupo de automorfismos finito. Por exemplo, uma curva elíptica (uma curva não singular de gênero 1 com 1 ponto marcado) é estável.
Sobre os números complexos, uma curva conexa é estável se e somente se, após a remoção de todos os pontos singulares e marcados, os revestimentos universais de todas as suas componentes forem isomorfos ao disco unitário.
Definição Dado um esquema arbitrário e fixando , uma curva estável de gênero g sobre é definida como um morfismo plano e próprio tal que as fibras geométricas sejam esquemas unidimensionais conexos e reduzidos de modo que: tenha apenas singularidades de pontos duplos ordinários Toda componente racional encontre outras componentes em mais de pontos
Essas condições técnicas são necessárias porque (1) reduzem a complexidade técnica (além disso, a teoria de Picard-Lefschetz pode ser usada aqui), (2) tornam as curvas rígidas de modo que não haja automorfismos infinitesimais da pilha de moduli construída posteriormente, e (3) garantem que o gênero aritmético de cada fibra seja o mesmo. Note que, para (1), os tipos de singularidades encontrados em superfícies elípticas podem ser completamente classificados.
Exemplos Um exemplo clássico de uma família de curvas estáveis é dado pela família de curvas de Weierstrass
onde as fibras sobre todo ponto são suaves e os pontos degenerados têm apenas uma singularidade de ponto duplo. Esse exemplo pode ser generalizado para o caso de uma família a um parâmetro de curvas hiperelípticas suaves degenerando em finitos pontos.
Não-exemplos No caso geral de mais de um parâmetro, deve-se ter o cuidado de remover curvas que apresentem singularidades piores do que pontos duplos. Por exemplo, considere a família sobre construída a partir dos polinômios
uma vez que ao longo da diagonal existem singularidades que não são pontos duplos. Outro não-exemplo é a família sobre dada pelos polinômios
que consiste em uma família de curvas elípticas degenerando em uma curva racional com uma cúspide. Propriedades Uma das propriedades mais importantes das curvas estáveis é o fato de que elas são interseções completas locais. Isso implica que a teoria padrão da Dualidade de Serre pode ser usada. Em particular, pode-se mostrar que para toda curva estável é um feixe relativamente muito amplo; ele pode ser usado para mergulhar a curva em . Usando a teoria padrão do esquema de Hilbert, podemos construir um esquema de moduli de curvas de gênero mergulhadas em algum espaço projetivo. O Polinômio de Hilbert é dado por
Existe um sublugar geométrico de curvas estáveis contido no esquema de Hilbert
Isso representa o functor
onde denota isomorfismos de curvas estáveis. Para fazer com que este seja o espaço de moduli de curvas sem considerar o mergulho (que é codificado pelo isomorfismo de espaços projetivos), temos que tomar o quociente por . Isso nos dá a pilha de moduli (moduli stack)
Ver também Moduli de curvas algébricas Mapeamento estável de curvas
Referências Artin, M.; Winters, G. (1971-11-01). "Degenerate fibres and stable reduction of curves". Topology. 10 (4): 373–383. doi:10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN 0040-9383.
Categoria:Curvas algébricas