Na topologia e em ramos relacionados da matemática, conjuntos separados são pares de subconjuntos de um dado espaço topológico que estão relacionados entre si de uma certa maneira: grosso modo, nem se sobrepondo nem se tocando. A noção de quando dois conjuntos são separados ou não é importante tanto para a noção de espaços conexos (e suas componentes conexas) quanto para os axiomas de separação para espaços topológicos.

Conjuntos separados não devem ser confundidos com espaços separados (definidos abaixo), que são de certa forma relacionados, mas diferentes. Espaços separáveis são, por sua vez, um conceito topológico completamente diferente.

Definições

Existem várias maneiras pelas quais dois subconjuntos e de um espaço topológico podem ser considerados separados. A maneira mais básica pela qual dois conjuntos podem ser separados é se eles forem disjuntos, ou seja, se a sua interseção for o conjunto vazio. Esta propriedade não tem nada a ver com a topologia em si, mas apenas com a teoria ingênua dos conjuntos. Cada uma das propriedades a seguir é mais estrita do que a disjunção, incorporando alguma informação topológica.

As propriedades abaixo são apresentadas em ordem crescente de especificidade, sendo cada uma delas uma noção mais forte do que a precedente.

Os conjuntos e são em se cada um for disjunto do fecho do outro:

Esta propriedade é conhecida como a Condição de Separação de Hausdorff-Lennes. Uma vez que todo conjunto está contido em seu fecho, dois conjuntos separados devem automaticamente ser disjuntos. Os fechos em si não precisam ser disjuntos entre si; por exemplo, os intervalos e são separados na reta real , embora o ponto pertença a ambos os seus fechos. Um exemplo mais geral é que em qualquer espaço métrico, duas bolas abertas e são separadas sempre que . A propriedade de serem separados também pode ser expressa em termos do conjunto derivado (indicado pelo símbolo de linha ou plica): e são separados quando são disjuntos e cada um é disjunto do conjunto derivado do outro, ou seja, . (Assim como no caso da primeira versão da definição, os conjuntos derivados e não são obrigados a ser disjuntos entre si.)

Os conjuntos e são se existirem vizinhanças de e de tais que e sejam disjuntas. (Às vezes você verá a exigência de que e sejam vizinhanças abertas, mas isso não faz diferença no final.) Para o exemplo de e , você poderia tomar e . Note que se quaisquer dois conjuntos são separados por vizinhanças, então certamente eles são separados. Se e são abertos e disjuntos, então eles devem ser separados por vizinhanças; basta tomar e . Por esta razão, a separação é frequentemente usada com conjuntos fechados (como no axioma de separação normal).

Os conjuntos e são se houver uma vizinhança fechada de e uma vizinhança fechada de tais que e sejam disjuntas. Nossos exemplos, e , não são separados por vizinhanças fechadas. Você poderia tornar ou fechado incluindo o ponto nele, mas você não pode tornar ambos fechados enquanto os mantém disjuntos. Note que se quaisquer dois conjuntos são separados por vizinhanças fechadas, então certamente eles são separados por vizinhanças.

Os conjuntos e são se existir uma função contínua do espaço para a reta real tal que e , ou seja, os membros de são mapeados para e os membros de são mapeados para . (Às vezes o intervalo unitário é usado no lugar de nesta definição, mas isto não faz diferença.) Em nosso exemplo, e não são separados por uma função, porque não há como definir continuamente no ponto . Se dois conjuntos são separados por uma função contínua, então eles também são separados por vizinhanças fechadas; as vizinhanças podem ser dadas em termos da pré-imagem de como e , onde é qualquer número real positivo menor que .

Os conjuntos e são se existir uma função contínua tal que e . (Novamente, você também pode ver o intervalo unitário no lugar de , e novamente isso não faz diferença.) Note que se quaisquer dois conjuntos são precisamente separados por uma função, então eles são separados por uma função. Uma vez que e são fechados em , apenas conjuntos fechados são capazes de ser precisamente separados por uma função, mas apenas porque dois conjuntos são fechados e separados por uma função não significa que eles sejam automaticamente precisamente separados por uma função (mesmo uma função diferente).

Relação com os axiomas de separação e espaços separados

Os axiomas de separação são várias condições que às vezes são impostas sobre os espaços topológicos, muitas das quais podem ser descritas em termos dos vários tipos de conjuntos separados. Como exemplo, definiremos o axioma , que é a condição imposta aos espaços separados. Especificamente, um espaço topológico é separado se, dados quaisquer dois pontos distintos e , os conjuntos unitários e são separados por vizinhanças.

Espaços separados são geralmente chamados de espaços de Hausdorff ou espaços .

Relação com os espaços conexos

Dado um espaço topológico , às vezes é útil considerar se é possível que um subconjunto seja separado de seu complemento. Isto é certamente verdadeiro se for o conjunto vazio ou todo o espaço , mas pode haver outras possibilidades. Um espaço topológico é conexo se estas forem as únicas duas possibilidades. Inversamente, se um subconjunto não vazio for separado de seu próprio complemento, e se o único subconjunto de que compartilha essa propriedade for o conjunto vazio, então é uma componente conexa aberta de . (No caso degenerado onde é em si o conjunto vazio , as autoridades divergem sobre se é conexo e se é uma componente conexa aberta de si mesmo.)

Relação com os pontos topologicamente distinguíveis

Dado um espaço topológico , dois pontos e são topologicamente distinguíveis se existir um conjunto aberto ao qual um ponto pertence, mas o outro não. Se e são topologicamente distinguíveis, então os conjuntos unitários e devem ser disjuntos. Por outro lado, se os conjuntos unitários e são separados, então os pontos e devem ser topologicamente distinguíveis. Assim, para conjuntos unitários, a distinguibilidade topológica é uma condição intermediária entre a disjunção e a separação.

Ver também

Espaço de Hausdorff Axiomas de separação

Referências

Bibliografia

Categoria:Axiomas de separação Categoria:Topologia (matemática)