Na matemática, a categoria derivada de uma categoria abeliana é uma construção da álgebra homológica introduzida para refinar e, em certo sentido, simplificar a teoria dos functores derivados definidos em . A construção prossegue com base na premissa de que os objetos de devem ser complexos de cadeias em , com dois desses complexos de cadeias sendo considerados isomorfos quando existe uma aplicação de cadeias que induz um isomorfismo no nível da homologia dos complexos de cadeias. Functores derivados podem então ser definidos para complexos de cadeias, refinando o conceito de hipercoomologia. As definições levam a uma simplificação significativa de fórmulas que, de outra forma, seriam descritas (não de maneira completamente fiel) por sequências espectrais complicadas.
O desenvolvimento da categoria derivada, por Alexander Grothendieck e seu aluno Jean-Louis Verdier pouco depois de 1960, agora aparece como um ponto terminal no desenvolvimento explosivo da álgebra homológica na década de 1950, uma década na qual fez notáveis avanços. A teoria básica de Verdier foi escrita em sua dissertação, publicada finalmente em 1996 na revista Astérisque (um resumo havia aparecido anteriormente no SGA 4½). A axiomática exigiu uma inovação, o conceito de categoria triangulada, e a construção baseia-se na localização de uma categoria, uma generalização da localização de um anel. O impulso original para desenvolver o formalismo "derivado" veio da necessidade de encontrar uma formulação adequada da teoria de dualidade coerente de Grothendieck. Desde então, as categorias derivadas tornaram-se indispensáveis também fora da geometria algébrica, por exemplo, na formulação da teoria dos D-módulos e na análise microlocal. Recentemente, as categorias derivadas também se tornaram importantes em áreas mais próximas da física, como em D-branas e na simetria espelho.
Categorias derivadas não limitadas foram introduzidas por Spaltenstein em 1988.
Motivações
Na teoria de feixes coerentes, ao levar ao limite o que poderia ser feito com a dualidade de Serre sem a suposição de um esquema não singular, tornou-se aparente a necessidade de tomar um complexo inteiro de feixes no lugar de um único feixe dualizante. De fato, a condição de anel de Cohen-Macaulay, um enfraquecimento da não-singularidade, corresponde à existência de um único feixe dualizante; e isso está longe de ser o caso geral. A partir da posição intelectual top-down, sempre assumida por Grothendieck, isso significava uma necessidade de reformulação. Com ela veio a ideia de que os functores "reais" de produto tensorial e Hom seriam aqueles existentes no nível derivado; em relação a esses, os functores Tor e Ext tornam-se mais como dispositivos computacionais.
Apesar do nível de abstração, as categorias derivadas foram aceitas nas décadas seguintes, especialmente como um ambiente conveniente para a coomologia de feixes. Talvez o maior avanço tenha sido a formulação da correspondência de Riemann-Hilbert em dimensões maiores que 1 em termos derivados, por volta de 1980. A escola de Sato adotou a linguagem das categorias derivadas, e a história subsequente dos D-módulos foi a de uma teoria expressa nesses termos.
Um desenvolvimento paralelo foi a categoria de espectros na teoria da homotopia. A categoria de homotopia de espectros e a categoria derivada de um anel são ambas exemplos de categorias trianguladas.
Definição Seja uma categoria abeliana. (Exemplos incluem a categoria de módulos sobre um anel e a categoria de feixes de grupos abelianos em um espaço topológico.) A categoria derivada é definida por uma propriedade universal em relação à categoria dos complexos de cocadeias com termos em . Os objetos de são da forma:
onde cada é um objeto de e cada uma das composições é zero. O -ésimo grupo de coomologia do complexo é . Se e são dois objetos nesta categoria, então um morfismo é definido como uma família de morfismos tal que . Tal morfismo induz morfismos nos grupos de coomologia , e é chamado de quase-isomorfismo se cada um desses morfismos for um isomorfismo em .
A propriedade universal da categoria derivada é que ela é uma localização da categoria de complexos em relação aos quase-isomorfismos. Especificamente, a categoria derivada é uma categoria, juntamente com um functor , possuindo a seguinte propriedade universal: Suponha que seja outra categoria (não necessariamente abeliana) e seja um functor tal que, sempre que for um quase-isomorfismo em , sua imagem é um isomorfismo em ; então fatora através de . Quaisquer duas categorias que possuam essa propriedade universal são equivalentes.
Relação com a categoria de homotopia Se e são dois morfismos em , então uma homotopia de cadeias ou simplesmente homotopia é uma coleção de morfismos tal que para todo . É simples mostrar que dois morfismos homotópicos induzem morfismos idênticos nos grupos de coomologia. Dizemos que é uma equivalência de homotopia de cadeias se existir tal que e sejam homotopicamente equivalentes aos morfismos identidade em e , respectivamente. A categoria de homotopia de complexos de cocadeias é a categoria com os mesmos objetos de , mas cujos morfismos são classes de equivalência de morfismos de complexos em relação à relação de homotopia de cadeias. Há um functor natural que é a identidade nos objetos e que envia cada morfismo à sua classe de equivalência de homotopia de cadeias. Como toda equivalência de homotopia de cadeias é um quase-isomorfismo, fatora através deste functor. Consequentemente, pode ser vista igualmente bem como uma localização da categoria de homotopia.
Do ponto de vista das categorias de modelos, a categoria derivada é a verdadeira 'categoria de homotopia' da categoria de complexos, enquanto pode ser chamada de 'categoria de homotopia ingênua'.
Construindo a categoria derivada Existem várias construções possíveis para a categoria derivada. Quando é uma categoria pequena, há uma construção direta da categoria derivada ao se adjuntar formalmente inversos de quase-isomorfismos. Este é um exemplo da construção geral de uma categoria por geradores e relações.Mac Lane, Categories for the Working Mathematician.
Quando é uma categoria grande, esta construção não funciona por razões da teoria dos conjuntos. Esta construção forma morfismos como classes de equivalência de caminhos. Se possui uma classe própria de objetos, todos os quais são isomorfos, então existe uma classe própria de caminhos entre quaisquer dois desses objetos. A construção por geradores e relações garante, portanto, apenas que os morfismos entre dois objetos formam uma classe própria. No entanto, geralmente exige-se que os morfismos entre dois objetos em uma categoria sejam conjuntos, e assim essa construção falha em produzir uma categoria propriamente dita.
Mesmo quando é pequena, no entanto, a construção por geradores e relações geralmente resulta em uma categoria cuja estrutura é opaca, onde os morfismos são caminhos arbitrariamente longos sujeitos a uma misteriosa relação de equivalência. Por essa razão, é convencional construir a categoria derivada de forma mais concreta, mesmo quando a teoria dos conjuntos não for um problema.
Estas outras construções passam pela categoria de homotopia. A coleção de quase-isomorfismos em forma um sistema multiplicativo. Trata-se de uma coleção de condições que permitem que caminhos complicados sejam reescritos como caminhos mais simples. O teorema de Gabriel-Zisman implica que a localização em um sistema multiplicativo tem uma descrição simples em termos de tetos (roofs). Um morfismo em pode ser descrito como um par , onde para algum complexo , é um quase-isomorfismo e é uma classe de equivalência de homotopia de cadeias de morfismos. Conceitualmente, isto representa . Dois tetos são equivalentes se tiverem um teto comum superior.
Substituir cadeias de morfismos por tetos também possibilita a resolução dos problemas da teoria dos conjuntos envolvidos nas categorias derivadas de categorias grandes. Fixe um complexo e considere a categoria cujos objetos são quase-isomorfismos em com contradomínio e cujos morfismos são diagramas comutativos. Equivalentemente, esta é a categoria de objetos sobre cujas aplicações de estrutura são quase-isomorfismos. Então, a condição do sistema multiplicativo implica que os morfismos em de para são
assumindo que este colimite seja, de fato, um conjunto. Embora seja potencialmente uma categoria grande, em alguns casos ela é controlada por uma categoria pequena. É o caso, por exemplo, se for uma categoria abeliana de Grothendieck (o que significa que satisfaz AB5 e possui um conjunto de geradores), com o ponto essencial sendo que apenas objetos de cardinalidade limitada são relevantes. Nesses casos, o limite pode ser calculado sobre uma subcategoria pequena, e isso garante que o resultado seja um conjunto. Assim, pode ser definida tendo esses conjuntos como os seus conjuntos .
Existe uma abordagem diferente baseada na substituição de morfismos na categoria derivada por morfismos na categoria de homotopia. Um morfismo na categoria derivada com contradomínio sendo um complexo limitado inferiormente de objetos injetivos é igual a um morfismo para este complexo na categoria de homotopia; isto decorre da injetividade termo a termo. Ao substituir a injetividade termo a termo por uma condição mais forte, obtém-se uma propriedade semelhante que se aplica até mesmo a complexos não limitados. Um complexo é K-injetivo se, para todo complexo acíclico , tivermos . Uma consequência direta disso é que, para todo complexo , os morfismos em são os mesmos que tais morfismos em . Um teorema de Serpé, generalizando o trabalho de Grothendieck e de Spaltenstein, afirma que em uma categoria abeliana de Grothendieck, todo complexo é quase-isomorfo a um complexo K-injetivo com termos injetivos, e além disso, isto é functorial.Stacks Project, tag 079P. Em particular, podemos definir morfismos na categoria derivada passando para resoluções K-injetivas e computando morfismos na categoria de homotopia. A functorialidade da construção de Serpé garante que a composição dos morfismos esteja bem definida. Tal como a construção que utiliza tetos, esta construção também garante propriedades adequadas da teoria dos conjuntos para a categoria derivada, desta vez porque estas propriedades já são satisfeitas pela categoria de homotopia.
Conjuntos Hom derivados Como notado antes, na categoria derivada os conjuntos hom são expressos através de tetos, ou vales , onde é um quase-isomorfismo. Para ter uma ideia melhor de como são os elementos, considere uma sequência exata
Podemos usar isso para construir um morfismo truncando o complexo acima, transladando-o e usando os óbvios morfismos acima. Em particular, temos o cenário
onde o complexo inferior tem concentrado no grau , a única seta não trivial para cima é o morfismo de igualdade, e a única seta não trivial para baixo é . Este diagrama de complexos define um morfismo
na categoria derivada. Uma aplicação dessa observação é a construção da classe de Atiyah.
Observações Para certos propósitos (veja abaixo), usa-se complexos limitados inferiormente ( para ), limitados superiormente ( para ) ou limitados ( para ) em vez dos não limitados. As categorias derivadas correspondentes são geralmente denotadas , e , respectivamente.