Na matemática, uma forma quadrática binária é um polinômio homogêneo quadrático em duas variáveis
onde a, b, c são os coeficientes. Quando os coeficientes podem ser números complexos arbitrários, a maioria dos resultados não é específica para o caso de duas variáveis, portanto, são descritos em forma quadrática. Uma forma quadrática com coeficientes inteiros é chamada de forma quadrática binária integral, frequentemente abreviada para forma quadrática binária.
Este artigo é inteiramente dedicado às formas quadráticas binárias integrais. Esta escolha é motivada pelo seu status como força motriz por trás do desenvolvimento da teoria algébrica dos números. Desde o final do século XIX, as formas quadráticas binárias cederam a sua preeminência na teoria algébrica dos números aos corpos quadráticos e aos corpos de números mais gerais, mas avanços específicos relativos a formas quadráticas binárias ainda ocorrem ocasionalmente.
Pierre de Fermat afirmou que, se $p$ é um número primo ímpar, então a equação tem uma solução se, e somente se, , e ele fez afirmações semelhantes sobre as equações , , e . e assim por diante são formas quadráticas, e a teoria das formas quadráticas fornece uma maneira unificada de observar e provar esses teoremas.
Outro exemplo de formas quadráticas é a equação de Pell .
As formas quadráticas binárias estão intimamente relacionadas com ideais em corpos quadráticos. Isso permite que o número de classes de um corpo quadrático seja calculado contando-se o número de formas quadráticas binárias reduzidas de um dado discriminante.
A função teta clássica de 2 variáveis é ; se é uma forma quadrática definida positiva, então é uma função teta.
Equivalência
Duas formas f e g são chamadas equivalentes se existem números inteiros tais que as seguintes condições sejam válidas:
Por exemplo, com e , , , e , descobrimos que f é equivalente a , que se simplifica para .
As condições de equivalência acima definem uma relação de equivalência no conjunto das formas quadráticas integrais. Segue-se que as formas quadráticas são particionadas em classes de equivalência, chamadas de classes de formas quadráticas. Um invariante de classe pode significar tanto uma função definida em classes de equivalência de formas quanto uma propriedade compartilhada por todas as formas na mesma classe.
Lagrange usou uma noção diferente de equivalência, na qual a segunda condição é substituída por . Desde Gauss, reconhece-se que esta definição é inferior à fornecida acima. Se houver necessidade de distinção, às vezes as formas são chamadas de propriamente equivalentes usando a definição acima e de impropriamente equivalentes se forem equivalentes no sentido de Lagrange.
Na terminologia de matrizes, que é usada ocasionalmente abaixo, quando
possui entradas inteiras e determinante 1, o mapa é uma ação de grupo (à direita) de no conjunto das formas quadráticas binárias. A relação de equivalência acima surge, então, da teoria geral das ações de grupo.
Se , então os invariantes importantes incluem
O discriminante . O conteúdo, igual ao máximo divisor comum de a, b e c.
Surgiu uma terminologia para classificar as classes e as suas formas em termos dos seus invariantes. Uma forma de discriminante é definida se , degenerada se é um quadrado perfeito e indefinida caso contrário. Uma forma é primitiva se o seu conteúdo é 1, isto é, se os seus coeficientes são coprimos. Se o discriminante de uma forma for um discriminante fundamental, então a forma é primitiva. Os discriminantes satisfazem
Automorfismos
Se f é uma forma quadrática, uma matriz
em é um automorfismo de f se . Por exemplo, a matriz
é um automorfismo da forma . Os automorfismos de uma forma são um subgrupo de . Quando f é definida, o grupo é finito, e quando f é indefinida, ele é infinito e cíclico.
Representação
Uma forma quadrática binária representa um número inteiro se for possível encontrar números inteiros e que satisfaçam a equação Uma equação desse tipo é uma representação de por .
Exemplos
Diofanto considerou se, para um inteiro ímpar , é possível encontrar inteiros e para os quais . Quando , temos
portanto, encontramos os pares que resolvem o problema. Obtemos mais pares que funcionam trocando os valores de e e/ou alterando o sinal de um ou de ambos, e . Ao todo, existem dezesseis pares de soluções diferentes. Por outro lado, quando , a equação
não possui soluções inteiras. Para entender o porquê, notamos que a não ser que ou . Assim, irá exceder 3 a menos que seja um dos nove pares com e iguais a ou . Podemos verificar estes nove pares diretamente para ver que nenhum deles satisfaz , logo, a equação não tem soluções inteiras.
Um argumento semelhante mostra que, para cada , a equação só pode ter um número finito de soluções, visto que irá exceder a não ser que os valores absolutos e sejam ambos menores que . Existe apenas um número finito de pares que satisfazem esta restrição.
Outro problema antigo envolvendo formas quadráticas pede-nos para resolver a equação de Pell. Por exemplo, podemos procurar inteiros x e y de modo que . Mudar os sinais de x e y numa solução fornece outra solução, por isso basta procurar apenas soluções com inteiros positivos. Uma solução é , isto é, há uma igualdade . Se for qualquer solução de , então é outro par. Por exemplo, a partir do par , calculamos
,
e podemos verificar que isto satisfaz . Iterando este processo, encontramos mais pares com :
Estes valores continuarão a crescer em tamanho, de forma que vemos que existem infinitas maneiras de representar 1 pela forma . Essa descrição recursiva foi discutida nos comentários de Téon de Esmirna sobre os Elementos de Euclides.
O problema da representação
O problema mais antigo na teoria das formas quadráticas binárias é o problema da representação: descrever as representações de um dado número por uma dada forma quadrática f. "Descrever" pode significar várias coisas: fornecer um algoritmo para gerar todas as representações, uma fórmula fechada para o número de representações, ou mesmo apenas determinar se existe alguma representação.
Os exemplos acima discutem o problema da representação para os números 3 e 65 pela forma e para o número 1 pela forma . Vemos que 65 é representado por de dezesseis maneiras diferentes, enquanto 1 é representado por de infinitas maneiras e 3 não é representado por de forma alguma. No primeiro caso, as dezesseis representações foram descritas explicitamente. Também foi demonstrado que o número de representações de um inteiro por é sempre finito. A função soma de quadrados fornece o número de representações de n por como uma função de n. Existe uma fórmula fechada
onde é o número de divisores de n que são congruentes a 1 módulo 4 e é o número de divisores de n que são congruentes a 3 módulo 4.
Existem vários invariantes de classe relevantes para o problema da representação:
O conjunto de inteiros representados por uma classe. Se um número inteiro n é representado por uma forma numa classe, então é representado por todas as outras formas numa classe. O valor absoluto mínimo representado por uma classe. Este é o menor valor não negativo no conjunto de inteiros representados por uma classe. As classes de congruência módulo o discriminante de uma classe representada pela classe.
O valor absoluto mínimo representado por uma classe é zero para classes degeneradas e positivo para classes definidas e indefinidas. Todos os números representados por uma forma definida têm o mesmo sinal: positivo se e negativo se . Por esta razão, os primeiros são chamados de formas positivas definidas e os últimos são negativas definidas.
O número de representações de um inteiro n por uma forma f é finito se f for definida e infinito se f for indefinida. Vimos instâncias disto nos exemplos acima: é definida positiva e é indefinida.
Representações equivalentes
A noção de equivalência de formas pode ser estendida a representações equivalentes. As representações e são equivalentes se existir uma matriz
com entradas inteiras e determinante 1 de modo que e
As condições acima fornecem uma ação (à direita) do grupo sobre o conjunto de representações de inteiros por formas quadráticas binárias. Segue-se que a equivalência assim definida é uma relação de equivalência e, em particular, que as formas em representações equivalentes são formas equivalentes.
Como exemplo, seja e considere uma representação . Uma representação como essa é uma solução para a equação de Pell descrita nos exemplos acima. A matriz
tem determinante 1 e é um automorfismo de f. Atuar na representação por esta matriz produz a representação equivalente . Este é o passo de recursão no processo descrito acima para gerar um número infinito de soluções para . Iterando a ação desta matriz, descobrimos que o conjunto infinito de representações de 1 por f que foram determinadas acima são todas equivalentes.
Existem geralmente um número finito de classes de equivalência de representações de um inteiro n por formas de um dado discriminante não nulo . Um conjunto completo de representantes para estas classes pode ser dado em termos de formas reduzidas definidas na seção abaixo. Quando , toda representação é equivalente a uma representação única por uma forma reduzida, de modo que um conjunto completo de representantes é dado pelo número finito de representações de n por formas reduzidas de discriminante . Quando , Zagier provou que toda representação de um número inteiro positivo n por uma forma de discriminante é equivalente a uma representação única na qual f é reduzida no sentido de Zagier e , . O conjunto de todas essas representações constitui um conjunto completo de representantes para classes de equivalência de representações.
Redução e números de classes
Joseph-Louis Lagrange provou que para cada valor D, existem apenas finitamente muitas classes de formas quadráticas binárias com discriminante D. O seu número é o de discriminante D. Ele descreveu um algoritmo, chamado de redução, para construir um representante canônico em cada classe, a forma reduzida, cujos coeficientes são os menores em um sentido apropriado.
Gauss apresentou um algoritmo de redução superior em Disquisitiones Arithmeticae, que desde então tem sido o algoritmo de redução mais comumente apresentado em livros didáticos. Em 1981, Don Zagier publicou um algoritmo de redução alternativo que encontrou diversos usos como uma alternativa ao de Gauss.
Composição
Composição refere-se mais comumente a uma operação binária sobre classes de equivalência primitivas de formas do mesmo discriminante, uma das descobertas mais profundas de Gauss, que torna este conjunto um grupo abeliano finito chamado de grupo de classes de formas (ou simplesmente grupo de classes) de discriminante . Desde então, os grupos de classes tornaram-se uma das ideias centrais na teoria algébrica dos números. Sob uma perspectiva moderna, o grupo de classes de um discriminante fundamental é isomorfo ao grupo de classes estrito (narrow class group) do corpo quadrático de discriminante . Para um negativo, o grupo de classes estrito é o mesmo que o grupo de classes de ideais, mas para um positivo ele pode ser duas vezes maior.
"Composição" também se refere, por vezes, em termos gerais, a uma operação binária sobre formas quadráticas binárias. A palavra "geralmente" indica duas ressalvas: apenas certos pares de formas quadráticas binárias podem ser compostos, e a forma resultante não é bem definida (embora a sua classe de equivalência o seja). A operação de composição sobre classes de equivalência é definida definindo-se primeiro a composição de formas e, em seguida, mostrando que isto induz uma operação bem definida sobre as classes.