miniatura|direita|Estátuas de I. Newton (à esquerda) e G. W. Leibniz no pátio do Museu de História Natural da Universidade de Oxford, colagem.
A controvérsia do cálculo entre Newton e Leibniz (em inglês: Leibniz–Newton calculus controversy; em alemão: Prioritätsstreit) foi uma disputa de prioridade sobre a descoberta do cálculo diferencial e integral entre Isaac Newton (1642–1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). Newton criou a sua versão da teoria entre 1665 e 1666, contudo, não a publicou até 1704. Independentemente dele, Leibniz desenvolveu a sua própria variante do cálculo diferencial (a partir de 1675), embora o impulso inicial possa ter vindo de rumores sobre a existência de tal cálculo por parte de Newton, bem como de conversas científicas em Inglaterra e correspondência com Newton. Ao contrário deste, Leibniz publicou imediatamente a sua versão e, mais tarde, juntamente com Jakob Bernoulli e Johann Bernoulli, promoveu amplamente esta descoberta por toda a Europa. A maioria dos cientistas no continente não duvidava de que a análise tinha sido descoberta por Leibniz. Quando Newton decidiu publicar as suas obras sobre o tema, surgiu a questão da prioridade da descoberta. A disputa feroz não terminou com a morte de Leibniz e continuou através dos esforços dos apoiantes de ambos os lados, cessando apenas com a morte de Newton.
Pontos de vista polarizados sobre a prioridade de Newton ou de Leibniz foram expressos por historiadores da matemática até ao início do século XX. Desde meados do século passado, o número de fontes conhecidas aumentou substancialmente, e os investigadores modernos chegaram à conclusão de que Newton e Leibniz fizeram as suas descobertas de forma independente. Quanto à questão de qual contributo foi decisivo para o surgimento da análise matemática, os historiadores tendem a adotar uma visão de compromisso: ou consideram que tal resultou do trabalho de muitas gerações de matemáticos, ou reconhecem o papel decisivo do mentor de Newton, Isaac Barrow (1630–1677), cujas obras eram também conhecidas por Leibniz.
Prioridade científica no século XVII
No século XVII, tal como na atualidade, a questão da prioridade científica era de grande importância para os académicos. No entanto, naquela época, as revistas científicas estavam apenas a surgir, e o mecanismo de fixação de prioridade através da publicação — que mais tarde se tornaria universal — ainda não se tinha consolidado. Entre os métodos utilizados pelos cientistas estavam os anagramas, envelopes selados depositados em locais seguros, correspondência com outros académicos ou comunicações privadas. Uma carta ao fundador da Academia de Ciências da França, Marin Mersenne, ou ao secretário da Royal Society de Londres, Henry Oldenburg, tinha praticamente o estatuto de um artigo publicado. O descobridor, além da fama, ficava isento da necessidade de provar que o seu resultado não fora obtido através de plágio. Além disso, a prioridade podia ter relevância prática se estivesse ligada à invenção de novos dispositivos técnicos. Uma estratégia comum de ataque à prioridade era declarar que a descoberta ou invenção não era uma grande conquista, mas apenas um melhoramento que utilizava técnicas conhecidas por todos e que, por isso, não exigia grande perícia do seu autor.
Uma série de disputas sonoras sobre prioridade no século XVII — uma era que o historiador da ciência americano D. Meli chamou de "a idade de ouro das disputas de prioridade com lançamento de lama" (the golden age of the mud-slinging priority disputes) — está ligada ao nome de Leibniz. A primeira ocorreu no início de 1673, durante a sua primeira visita a Londres, quando, na presença do matemático John Pell, apresentou o seu método de aproximação de séries por diferenças. Perante a observação de Pell de que tal descoberta já tinha sido feita por François Regnaud e publicada em 1670 em Lyon por Gabriel Mouton, Leibniz respondeu no dia seguinte. Numa carta a Oldenburg, escreveu que, após consultar o livro de Mouton, reconhecia a razão de Pell, mas em sua defesa apresentava as suas notas de rascunho, que continham nuances não encontradas por Regnaud e Mouton. Assim, a honestidade de Leibniz foi provada, embora este incidente lhe tenha sido recordado mais tarde. Na mesma visita a Londres, Leibniz viu-se na posição oposta. A 1 de fevereiro de 1673, numa sessão da Royal Society, demonstrou a sua máquina de calcular. O curador de experiências da sociedade, Robert Hooke, examinou minuciosamente o aparelho e chegou a retirar a tampa traseira. Dias depois, na ausência de Leibniz, Hooke criticou a máquina do alemão, afirmando que poderia construir um modelo mais simples. Ao saber disto já em Paris, Leibniz escreveu a Oldenburg rejeitando categoricamente as pretensões de Hooke e formulando princípios de conduta científica correta: "Sabemos que as pessoas honradas e modestas preferem, quando idealizam algo comparável às descobertas feitas por outrem, atribuir os seus próprios melhoramentos e adições ao primeiro descobridor, para não levantar suspeitas de desonestidade intelectual". Como ilustração, Leibniz citou os exemplos de Nicolas-Claude Fabri de Peiresc e Pierre Gassendi, que realizaram observações astronómicas análogas às de Galileu Galilei e Johannes Hevelius, respetivamente. Ao saberem que não foram os primeiros, os cientistas franceses entregaram os seus dados aos descobridores originais.
A abordagem de Newton ao problema da prioridade pode ser ilustrada pelo exemplo da descoberta da Lei do inverso do quadrado aplicada à dinâmica de corpos sob a ação da Gravidade. Com base na análise das Leis de Kepler e nos seus próprios cálculos, Robert Hooke sugeriu que o movimento nessas condições deveria ocorrer em órbitas semelhantes a elipses. Sem conseguir provar rigorosamente a sua afirmação, comunicou-a a Newton. Sem prosseguir a correspondência com Hooke, Newton resolveu o problema, bem como o inverso, provando que da elipticidade das órbitas decorre a lei do inverso do quadrado. A sua descoberta foi exposta na famosa obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica sem mencionar o nome de Hooke. Por insistência do astrónomo Edmond Halley, a quem o manuscrito foi entregue para edição e publicação, foi incluída uma frase referindo que a correspondência entre a primeira lei de Kepler e a lei do inverso do quadrado foi "afirmada independentemente por Wren, Hooke e Halley". Na correspondência com Halley, Newton formulou a sua visão da situação:
Segundo a observação de V. I. Arnold, Newton, ao escolher entre não publicar as suas descobertas e a luta constante pela prioridade, acabou por escolher ambas.
Antecedentes
A invenção do cálculo diferencial e integral
miniatura|O triângulo diferencial de Pascal.
Ao tempo de Newton e Leibniz, os matemáticos europeus já tinham dado contributos significativos para a formação das ideias da Análise matemática. O desenvolvimento do antigo "Método da exaustão" para o cálculo de áreas e volumes foi trabalhado pelo holandês Simon Stevin (1548–1620), o italiano Luca Valerio (1553–1618) e o alemão Johannes Kepler (1571–1630). As ideias deste último influenciaram — diretamente ou através de Galileu Galilei — o "Método dos indivisíveis" desenvolvido por Bonaventura Cavalieri (1598–1647). Galileu também trabalhou na questão dos conceitos de grandezas infinitamente grandes e infinitamente pequenas. Em 1639, Cavalieri obteve um resultado fundamental ao integrar uma função de potência. Entre 1636 e 1655, praticamente de forma independente, esta conquista foi repetida em França por Gilles de Roberval (1602–1675), Blaise Pascal (1623–1662), Pierre de Fermat (1601–1665) e, em Inglaterra, por John Wallis (1616–1703). Em 1626, Grégoire de Saint-Vincent, desenvolvendo o "método da exaustão", chegou à ideia de representar uma curva como o limite de um polígono inscrito ou circunscrito; no entanto, como apresentou o seu feito como uma solução para a Quadratura do círculo, este foi ignorado pela maioria dos seus contemporâneos, sendo a sua reputação restaurada mais tarde por Newton e Leibniz. Na sua obra Traité des sinus du quart de cercle (1659), Pascal aproximou-se da estabelecer a ligação entre o problema da construção da tangente a uma curva e o cálculo da área sob a mesma. Nesta obra, apresenta-se a figura que viria a ser conhecida como "triângulo diferencial", ilustrando a passagem ao limite quando os incrementos do argumento e da função tendem para zero. Contudo, Pascal, tal como Willebrord Snell em 1624, não efetuou essa transição. Numa obra publicada em 1638, Pierre de Fermat propôs um método para determinar máximos e mínimos que se resume, na terminologia moderna, à determinação dos zeros da primeira derivada. Ao resolver o problema da procura do centro de gravidade de um segmento parabólico, Fermat concluiu pela relação entre os problemas da tangente e do cálculo de áreas. Apesar de Fermat aplicar os seus métodos apenas a funções racionais, foi quem mais se aproximou da invenção do cálculo — com a possível exceção de Isaac Barrow (1630–1677). De grande importância foi a publicação, em 1668, do livro Logarithmotechnia de Nicholas Mercator (1620–1687), onde se apresentava a expansão em série de potências do Logaritmo natural ("Série de Mercator") e a sua aplicação ao cálculo da área sob a hipérbole.
Barrow — mentor de Newton — tendia fortemente para a interpretação geométrica nas suas construções matemáticas. O seu método de cálculo de tangentes baseava-se nos resultados de matemáticos continentais e dos britânicos James Gregory (1638–1675) e John Wallis. É provável que também conhecesse os trabalhos de Fermat sobre análise, editados postumamente em 1679. A obra principal de Barrow no campo da análise, Lectiones Geometricae, foi publicada em 1670. Em 1673, Leibniz adquiriu-a, mas, segundo a sua própria afirmação, não a leu.
Os historiadores da matemática avaliam de forma distinta o papel de Newton e Leibniz no contexto das conquistas dos seus antecessores. Segundo Edmund Hoppe (1928), podem-se distinguir duas linhas independentes na história do cálculo: a cinemática, que leva a Newton através de Platão, Arquimedes, Galileu, Cavalieri e Barrow; e a atomística, que leva a Leibniz através de Demócrito, Kepler, Fermat, Pascal e Christiaan Huygens (1629–1695). A perspetiva de Carl Boyer (1949) é a de que estas ideias estavam "no ar" em meados do século XVII, aguardando que alguém as sistematizasse e generalizasse. Segundo Margaret E. Baron (1969), o descobridor original deveria ser Barrow, tendo Newton e Leibniz apenas conferido às suas ideias uma forma algébrica.
Newton miniatura|esquerda|Numa carta a Robert Hooke de 15 de fevereiro de 1676, Newton citou a famosa frase de Bernardo de Chartres: "Se vi mais longe, foi por estar sobre os ombros de gigantes". Ilustração de um manuscrito do início do século XV.