Número pi

miniatura|Cando o diámetro dun círculo é 1, a lonxitude da circunferencia é pi. Números – Números irracionais – – – – – – – – Binario 11,00100100001111110110… Decimal 3,14159265358979323846… Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319… Fracción continua Nótese que esta fracción continua non é periódica. Pi ou π é unha constante matemática cuxo valor é a razón aritmética de calquera circunferencia dun círculo co seu diámetro; este é o mesmo valor có da razón da área dun círculo co cadrado do seu raio. É aproximadamente igual a 3,14159 na notación decimal habitual. π é unha das constantes matemáticas e físicas máis importantes: moitas fórmulas das matemáticas, ciencias e enxeñaría están moi relacionadas con π.

π é un número irracional, o que significa que o seu valor non pode ser expresado exactamente como fracción m/n, onde m e n son enteiros. Por conseguinte, a súa representación decimal nunca acaba ou se repite. É tamén un número transcendente, o que quere dicir que non existen secuencias finitas de operacións alxébricas con números enteiros (multiplicacións, raíces, sumas etc.) que poidan ser igual ao seu valor; demostrar isto foi un logro recente na historia das matemáticas e un resultado significativo das matemáticas alemás do século XIX. Ao longo da historia matemática, teñen habido moitos esforzos por determinar π máis exactamente e entender a súa natureza; a fascinación co número mesmo pasou á cultura non-matemática.

A letra grega π, frecuentemente enunciada pi, foi adoptada para o número a partir da palabra grega para perímetro "περίμετρος", por vez primeira por William Jones en 1707, e popularizada por Leonhard Euler en 1737. A constante tamén é ocasionalmente referida coma a "constante circular", a "constante de Arquímedes" (para non ser confundida co número de Arquímedes) ou "número de Ludolph" (na honra dun matemático alemán cuxos esforzos para calcular os máis dos seus díxitos fixérono coñecido).

O día 14 de marzo celébrase o Día do Número Pi, pola súa notación inglesa 3/14.

Definicións En xeometría plana, π pódese definir como a relación da circunferencia co seu diámetro. Tamén se define π analiticamente usando funcións trigonométricas, como exemplos: como o menor positivo x para o cal sen(x) = 0, como o duplo do menor positivo x para o cal cos(x) = 0.

A probabilidade e o número π miniatura|300px|Gráficas da distribución normal para distintos valores da media e desviación típica. A de cor vermella é a da distribución normal estándar (media 0 e desviación típica 1) Unha lixeira reflexión pode facernos pensar que nada hai máis afastado do número π que o concepto de probabilidade, cando a realidade é ben distinta. O matemático e lóxico inglés Augustus De Morgan foi interrogado en certa ocasión por un vendedor de seguros sobre a probabilidade de que un grupo de persoas seguise con vida despois dun certo tempo. Na solución ao problema aparecía o número π, cousa que sorprendeu ao vendedor quen pensou que De Morgan se trabucara. A solución era a correcta e ten que ver coa distribución normal, unha variable aleatoria continua cuxa función de densidade é:

onde μ é a media e σ a desviación típica da distribución.

A distribución normal aparece ligada a multitude de situacións reais, entre elas á esperanza de vida do problema do vendedor de seguros. A gráfica desta distribución coñécese como campá de Gauss pola súa forma característica de campá e polo matemático alemán Gauss, quen en 1809 publicou un monográfico no que introducía algúns conceptos estatísticos, entre eles o de distribución normal; porén algúns autores atribúenlle o descubrimento en 1733 ao matemático francés Abraham de Moivre, estudando os coeficientes do binomio . É por este nome que Alexander Pope dicía que cada vez que alguén morre, as campás (de Gauss) soan por π.

Outros exemplos do campo das probabilidades onde aparece π son: A probabilidade de que dous enteiros positivos escollidos ó chou sexan primos entre si é Elixido ó chou un triángulo cuxo lado maior mide a unidade, a probabilidade de que sexa obtusángulo é O problema da agulla de Buffon: chamado así por ser proposto, e resolto, polo conde de Buffon, científico francés do século XVIII. Lanzada unha agulla, sen que se clave, sobre unha superficie na que se trazaron liñas paralelas equidistantes, trátase de calcular a probabilidade de que a agulla corte a unha liña. Se é a lonxitude da agulla, e a distancia entre as liñas, dita probabilidade é: cando cando cando O problema da agulla de Buffon-Laplace: foi proposto por Laplace en 1812. É unha variante do problema de Buffon considerando a superficie cuadriculada onde os lados da cuadrícula e non teñen por que medir o mesmo, e a lonxitude da agulla é menor que ambos lados. Se , a probabilidade de que a agulla corte a algún lado da cuadrícula é: Se , téñense as seguintes probabilidades: Probabilidade de que a agulla non corte a ningunha liña: Probabilidade de que a agulla corte a unha liña: Probabilidade de que a agulla corte ás dúas liñas: A suma das tres probabilidades anteriores é obviamente 1 xa que abarcan todas as posibilidades e corresponden a sucesos incompatíbeis.

Fórmulas que conteñen π

Xeometría Ángulos: 180 graos son equivalentes a π radiáns

Forma xeométricaFórmulaCircunferencia do círculo de raio r e diámetro dÁrea do círculo de raio rÁrea da elipse con semi-eixos a e mais bVolume da esfera de raio rsuperficie da esfera de raio rVolume do cilindro de altura h e raio rSuperficie do cilindro de altura h e raio rVolume do cono de altura h e raio rSuperficie do cono de altura h e raio r

Ademais, o ángulo 180° en graos equivale a π radiáns (unha volta enteira, 360 graos, son equivalentes a 2π radiáns).

Análise Moitas fórmulas de análise matemática conteñen π, incluíndo series infinitas, integrais, e as chamadas funcións especiais.

François Viète, 1593 (Proba de Viète):

fórmula de Leibniz:

Esta serie infinita, citada a miúdo, escríbese como se indica arriba, pero exprésase máis tecnicamente como:

produto de Wallis (ver este artigo para a proba):

Unha fórmula de cálculo integral :

problema de Basilea, resolta por Euler (ver tamén función zeta de Riemann ):

e xeralmente, é un múltiplo de para o enteiro positivo n función gamma avaliada en 1/2:

aproximación de Stirling:

identidade de Euler (chamada por Richard Feynman "a fórmula máis salientada en matemáticas"):

Area dun cuarto do círculo unidade:

Historia Antigüidade As aproximacións máis coñecidas a π datan de antes da nosa era e tiñan unha precisión de dúas cifras decimais; esta precisión mellorouse, sobre todo nas matemáticas chinesas en particular a mediados do primeiro milenio, ata unha precisión de sete cifras decimais. A partir de entón, non se produciron máis avances ata finais da Idade Media.

As primeiras aproximacións escritas de π atópanse en Babilonia e Exipto, ambas dentro do un por cento do valor verdadeiro. En Babilonia, unha tableta de arxila datada entre 1900 e 1600 a.C. ten un enunciado xeométrico que, implicitamente, trata a π como  = 3.125. En Exipto, o papiro de Rhind, datado ao redor de 1650 AC pero copiado dun documento datado en 1850 AC, ten unha fórmula para a área dun círculo que trata a π como 3.16. Aínda que algúns piramidólogos como Flinders Petrie han teorizado que a Gran Pirámide de Gizeh foi construída con proporcións relacionadas con π, esta teoría non é amplamente aceptada polos estudosos. Nos textos Shulba Sutras das matemáticas indias, que datan dunha tradición oral do primeiro ou segundo milenio a.C., danse aproximacións que foron interpretadas de diversas maneiras como aproximadamente 3.08831, 3.08833, 3.004, 3, ou 3.125. Era de aproximación de polígonos upright=1.59|esquerda|miniatura|alt=diagrama dun hexágono e un pentágono circunscritos fóra dun círculo|π pódese estimar calculando os perímetros de polígonos circunscritos e inscritos. esquerda|alt=Unha pintura dun home estudando|miniatura|upright|Arquímedes desenvolveu o enfoque poligonal para aproximar π. O primeiro algoritmo rexistrado para calcular rigorosamente o valor de π foi un enfoque xeométrico mediante polígonos, ideado ao redor do 250 a.C. polo matemático grego Arquímedes. Este algoritmo poligonal dominou durante máis de 1.000 anos, e como resultado π coñécese ás veces como a constante de Arquímedes. Arquímedes calculou os límites superior e inferior de π debuxando un hexágono regular dentro e fóra dun círculo, e duplicando sucesivamente o número de lados ata chegar a un polígono regular de 96 lados. Ao calcular os perímetros destes polígonos, demostrou que (é dicir ). O límite superior de Arquímedes de puido levar a unha crenza popular estendida de que π é igual a . Ao redor do 150 d. C., o científico grego-romano Tolomeo, no seu Almaxesto, deu un valor para π de 3,1416, que puido ter obtido de Arquímedes ou de Apolonio de Perge. Os matemáticos que usaban algoritmos poligonais alcanzaron os 39 díxitos de π en 1630, un récord que só se bateu en 1699 cando se usaron series infinitas para acadar os 71 díxitos.. Grienberger acadou 39 díxitos en 1630; Sharp 71 díxitos en 1699.

Na China antiga, os valores de π eran 3,1547 (ao redor do ano 1 d. C.), √10 (aproximadamente 3.1623 no 100 d.C.), e ( aproximadamente 3,1556 no século III). Ao redor do 265 d. C., o matemático do reino Wei Li Hui creou un algoritmo iterativo baseado en polígonos e utilizouno cun polígono de 3.072 lados para obter un valor. de π de 3.1416. Liu máis tarde inventou un método máis rápido para calcular π e obtivo un valor de 3,14 cun polígono de 96 lados, aproveitando que as diferenzas na área dos sucesivos polígonos forman unha serie xeométrica cun factor de 4. O matemático chinés Zu Chongzhi, ao redor do ano 480 d. C., calculou que e suxeriu as aproximacións = 3.14159292035... e = 3.142857142857..., que chamou Milü (''proporción proxima") e Yuelü ("proporción aproximada"), respectivamente, utilizando o algoritmo de Li Hui aplicado a un polígono de 12.288 lados. Cun valor correcto para os seus sete primeiros díxitos decimais, este valor seguiu sendo a aproximación máis exacta de π dispoñible durante os seguintes 800 anos.

O astrónomo indio Âryabhata utilizou un valor de 3,1416 na súa Āryabhaṭīya (499 d. C.).. Fibonacci en c. 1220 calculou 3,1418 mediante un método poligonal, independente de Arquímedes. O autor italiano Dante ao parecer empregou o valor .

O astrónomo persa Jamshīd al-Kāshī produciu 9 díxitos sexaxesimais, aproximadamente o equivalente a 16 díxitos decimais, en 1424 utilizando un polígono con 3×228 lados, que foi o récord mundial durante uns 180 anos. O matemático francés François Viète logrou en 1579 9 díxitos cun polígono de 3×217 lados. O matemático flamengo Adriaan van Roomen chegou os 15 decimais en 1593. En 1596, o matemático holandés Ludolph van Ceulen alcanzou os 20 díxitos, un rexistro que máis tarde aumentou a 35 díxitos (como resultado, π foi chamado "número ludolphiano" en Alemaña ata principios do século XX). O científico holandés Willebrord Snel alcanzou os 34 díxitos en 1621, e o astrónomo austríaco Christoph Grienberger chegou a 38 díxitos en 1630 usando 1040 lados. His evaluation was 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199. Christiaan Huygens foi quen de chegar a 10 cifras decimais en 1654 usando un método equivalente e lixeiramente diferente á extrapolación de Richardson.

Series infinitas miniatura|Comparación da converxencia do produto de Wallis (asteriscos roxos) e varias series infinitas para π. Sn é a aproximación despois de tomar n termos. Cada subgráfico amplía a precisión da imaxe nun factor de 10.