miniatura|200x200px| A hipotenusa dun triángulo rectángulo cuxos catetos miden 1 ten unha raíz cadrada de dous.
A raíz cadrada de dous, denotada como , é o único número real positivo cuxo cadrado (é dicir, o resultado da súa multiplicación por si mesmo) é dous: .
A raíz cadrada de dous é un número irracional, é dicir, non é posíbel atopar dous enteiros e tal que
Crese que foi o primeiro número irracional recoñecido como tal. Este importante descubrimento atribúeselle a Hippaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. Segundo a lenda, a demostración custoulle a vida ao seu descubridor, xa que contradí as ideas predominantes entre os pitagóricos de que todo era un número (enteiro).
Un triángulo rectángulo cuxos catetos miden 1 ten unha hipotenusa de lonxitude .
A fracción (≈ 1,4142 857) úsase ás veces como unha boa aproximación racional cun denominador razoábelmente pequeno.
A secuencia A002193 na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras está formada polos díxitos da expansión decimal da raíz cadrada de 2, aquí truncadas a 65 cifras decimais:
Notación A raíz cadrada de dous pódese escribir como:
, lea "raíz cadrada de dous" ou "raíz de dous". ou , lese como "dous elevado a un medio".
Secuencia converxente á raíz cadrada de dous Pódese construír facilmente unha secuencia de números racionais que se achegan (converxen) a :
Esta relación de recorrencia produce a secuencia:
Ou, aproximadamente:
Teña en conta que o método estabiliza o noveno decimal despois de só cinco pasos.
Recíproco O inverso multiplicativo (recíproco) da raíz cadrada de dous é unha constante amplamente utilizada, co valor decimal: Decimal expansion of 1/sqrt(2)
Atópase a miúdo en xeometría e trigonometría porque o vector unitario, que forma un ángulo de 45° cos eixos nun plano, ten coordenadas
Cada coordenada cumpre
Representacións Serie e produto A identidade , xunto coas representacións infinitas do produto para seno e coseno, leva a produtos como
ou equivalentemente,
O número tamén se pode expresar tomando a serie de Taylor dunha función trigonométrica. Por exemplo, a serie para dá
A serie de Taylor de con e usando o duplo factorial dá
A converxencia desta serie pódese acelerar cunha transformada de Euler, producindo
Non se sabe se se póode representar cunha fórmula de tipo BBP. No entanto, coñécense fórmulas de tipo BBP para e .
O número pódese representar mediante unha serie infinita de fraccións exipcias, con denominadores definidos por termos 2n-ésimos dunha relación de recorrencia de tipo Fibonacci
Fracción continua miniatura|335px|A raíz cadrada de 2 e aproximacións por converxentes de fraccións continuas A raíz cadrada de dous ten a seguinte representación como fracción continua regular :
en forma abreviada
Os converxentes formados ao truncar esta representación forman unha secuencia de fraccións que aproximan a raíz cadrada de dous con precisión crecente e que se describen polos número de Pell (é dicir, ). Os primeiros converxentes son: e o converxente seguinte a é . A función converxente difire de en case exactamente , o que se deduce de:
Cadrado aniñado As seguintes expresións con cadrados aniñadas converxen a
Aplicacións Tamaño do papel En 1786, o profesor alemán de física Georg Christoph Lichtenberg descubriu que calquera folla de papel cuxo bordo longo sexa veces máis grande que o seu bordo curto podíase dobrar pola metade e aliñarse co seu lado curto para producir unha folla coas mesmas proporcións que a orixinal.
Esta relación entre as lonxitudes do lado máis longo sobre o lado máis curto garante que cortar unha folla pola metade ao longo dunha liña dá como resultado que as follas máis pequenas teñan a mesma relación de aspecto (aproximada) que a folla orixinal.
Cando Alemaña estandarizou os tamaños de papel a principios do século XX, utilizaron a proporción de Lichtenberg para crear a serie "A" de tamaños de papel. Hoxe, a relación (aproximada) de tamaños de papel en ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1:
Ciencias físicas Existen algunhas propiedades interesantes que inclúen a raíz cadrada de 2 nas ciencias físicas:
A raíz cadrada de dous é a relación de frecuencias dun intervalo de trítonos na música de doce tons de temperamento igual. A raíz cadrada de dous forma a relación de f-paradas en lentes fotográficas, o que á súa vez significa que a relación das áreas entre dúas aberturas sucesivas é 2. A latitude celeste (declinación) do Sol durante os puntos astronómicos dun cuarto de día cruzado é igual á inclinación do eixo do planeta dividida por
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Número pi Teorema de Pitagoras Ligazóns externas Cinco milhões de casas decimais da raiz quadrada de 2
Categoría:Números