Na teoría de conxuntos, a cardinalidade do continuo é a cardinalidade ou "tamaño" do conxunto dos números reais , ás veces chamado continuo. É un número cardinal infinito denotado por (en minúscula Fraktur "c") ou .
Os números reais son máis numerosos que os números naturais . Alén disto, ten o mesmo número de elementos que o conxunto de partes de . Simbólicamente, se a cardinalidade de se denota como , a cardinalidade do continuo é
Isto foi demostrado por Georg Cantor na súa proba de non numerabilidade de 1874, parte do seu estudo innovador de diferentes infinitos. A desigualdade foi máis tarde afirmada de xeito máis sinxelo no seu argumento diagonal en 1891. Cantor definiu a cardinalidade en termos de funcións bixectivas: dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade se, e só se, existe unha función bixectiva entre eles.
Entre dous números reais calquera a < b, por moi próximos que estean entre si, sempre hai infinitos outros números reais, e Cantor demostrou que son tantos como os contidos en todo o conxunto de números reais. Noutras palabras, o intervalo aberto (a, b) é equipotente con , así como con varios outros conxuntos infinitos, como calquera espazo euclidiano n-dimensional (ver curva de recheo do espazo). É dicir,
O menor número cardinal infinito é (aleph-cero). O segundo máis pequeno é (aleph-un). A hipótese do continuo, que afirma que non hai conxuntos cuxa cardinalidade estea estritamente entre e , quere dicir que . A verdade ou a falsidade desta hipótese é indecidíbel e non se pode probar dentro da amplamente usada teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de escolla (ZFC).
Propiedades
Non numerabilidade Georg Cantor introduciu o concepto de cardinalidade para comparar os tamaños de conxuntos infinitos. Mostrou que o conxunto de números reais é non numerabelmente infinito. É dicir, é estritamente maior que a cardinalidade dos números naturais, :
Igualdades cardinais Pódese usar unha variación do argumento diagonal de Cantor para demostrar o teorema de Cantor, que afirma que a cardinalidade de calquera conxunto é estritamente menor que a do seu conxunto de partes. É dicir, .
A igualdade cardinal pódese demostrar mediante a aritmética cardinal:
Usando as regras da aritmética cardinal, tamén se pode demostrar
onde n é calquera cardinal finito ≥ 2 e
onde é a cardinalidade do conxunto de partes de R, e .
Números beth
A secuencia dos números beth defínese pola configuración e . Logo é o segundo número beth, beth-un:
O terceiro número beth, beth-dous, é a cardinalidade do conxunto de partes de (é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos da recta real):
A hipótese do continuo
A hipótese do continuo afirma que tamén é o segundo número aleph, . Noutras palabras, a hipótese do continuo afirma que non hai conxunto cuxa cardinalidade se sitúe estritamente entre e
Conxuntos con cardinalidade do continuo Un gran número de conxuntos estudados en matemáticas teñen cardinalidade igual a . Algúns exemplos comúns son os seguintes:
os números reais calquera intervalo pechado ou aberto non dexenerado de (como o intervalo unitario ) os números irracionais os números transcendentais o conxunto de Cantor o Espazo euclidiano Was Cantor Surprised?, Fernando Q. Gouvea, Marchêa, Montematical 2011. os números complexoss o conxunto potencia dos números naturais (o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais) o conxunto de sucesións de enteiros (é dicir, todas as funcións moitas veces denotadas o conxunto de sucesións de números reais, o conxunto de todas as funcións continuas dende ata a topoloxía euclidiana en (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos abertos en a álxebra σ de Borel en (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos de Borel en
Conxuntos con maior cardinalidade Conxuntos con cardinalidade maior que inclúen:
o conxunto de todos os subconxuntos de (é dicir, o conxunto de partes ) o conxunto 2R de funcións indicadoras definidas en subconxuntos dos reais (o conxunto é isomorfo a , a función indicadora escolle elementos de cada subconxunto) o conxunto de todas as funcións de a a σ-álxebra de Lebesgue , é dicir, o conxunto de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue en . o conxunto de todas as funcións integrábeis de Lebesgue de a o conxunto de todas as funcións medíbeis de Lebesgue de a as compactacións de Stone-Čech de , , e o conxunto de todos os automorfismos do corpo (discreto) dos números complexos.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (Springer-Verlag edition). Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. . Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. .
Outros artigos Cardinalidade Hipótese do continuo
Ligazóns externas
Categoría:Teoría de conxuntos Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas